Номер 9.2, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.2. На рисунках 9.3, а, б угол $\angle 1$ равен углу $\angle 2$, угол $\angle 3$ равен углу $\angle 4$. Укажите равные отрезки.

Рис. 9.3

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $. У них общая сторона $ AC $. По условию задачи дано, что угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4.

В соответствии с рисунком:

• $ \angle 1 = \angle DAC $
• $ \angle 2 = \angle BCA $
• $ \angle 3 = \angle BAC $
• $ \angle 4 = \angle DCA $

Таким образом, условия равенства углов означают:

• $ \angle BCA = \angle DAC $ (так как $ \angle 2 = \angle 1 $)
• $ \angle BAC = \angle DCA $ (так как $ \angle 3 = \angle 4 $)

Сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

1. $ \angle BCA = \angle DAC $ (по условию)
2. $ \angle BAC = \angle DCA $ (по условию)
3. $ AC $ — общая сторона

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle CDA $. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $ AB $ лежит напротив угла $ \angle BCA $, а сторона $ CD $ — напротив угла $ \angle DAC $. Так как эти углы равны, то равны и стороны: $ AB = CD $. Сторона $ BC $ лежит напротив угла $ \angle BAC $, а сторона $ AD $ — напротив угла $ \angle DCA $. Так как эти углы равны, то равны и стороны: $ BC = AD $.

Ответ: $ AB = CD $ и $ BC = AD $.

б) Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $. У них общая сторона $ AC $. По условию задачи дано, что угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4.

В соответствии с рисунком:

• $ \angle 1 = \angle DAC $
• $ \angle 2 = \angle BAC $
• $ \angle 3 = \angle DCA $
• $ \angle 4 = \angle BCA $

Таким образом, условия равенства углов означают:

• $ \angle BAC = \angle DAC $ (так как $ \angle 2 = \angle 1 $)
• $ \angle BCA = \angle DCA $ (так как $ \angle 4 = \angle 3 $)

Сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам):

1. $ \angle BAC = \angle DAC $ (по условию)
2. $ \angle BCA = \angle DCA $ (по условию)
3. $ AC $ — общая сторона

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle ADC $. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $ AB $ лежит напротив угла $ \angle BCA $, а сторона $ AD $ — напротив угла $ \angle DCA $. Так как эти углы равны, то равны и стороны: $ AB = AD $. Сторона $ BC $ лежит напротив угла $ \angle BAC $, а сторона $ CD $ — напротив угла $ \angle DAC $. Так как эти углы равны, то равны и стороны: $ BC = CD $.

Ответ: $ AB = AD $ и $ BC = CD $.