Вопросы, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников, также известный как признак по стороне и двум прилежащим к ней углам (сокращенно УСУ, или ASA в англоязычной литературе), является одной из фундаментальных теорем планиметрии.

Формулировка теоремы звучит следующим образом: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим это положение более подробно. Пусть у нас есть два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Термин "прилежащие углы" к некоторой стороне означает углы, которые образуют эту сторону с двумя другими сторонами треугольника. Например, для стороны $AB$ прилежащими являются углы при вершинах $A$ и $B$, то есть $\angle A$ и $\angle B$.

Согласно теореме, для доказательства равенства $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ достаточно установить равенство трех соответствующих элементов:

1. Равенство одной пары сторон: $AB = A_1B_1$.

2. Равенство одной пары прилежащих углов: $\angle A = \angle A_1$.

3. Равенство второй пары прилежащих углов: $\angle B = \angle B_1$.

Если эти три условия выполнены, то треугольники считаются равными. Это означает, что и все остальные их соответствующие элементы также равны: $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Доказательство этой теоремы традиционно проводится методом наложения.

Пусть даны $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$.

1. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы сторона $AB$ совпала с равной ей стороной $A_1B_1$. При этом вершина $A$ совместится с вершиной $A_1$, а вершина $B$ — с вершиной $B_1$.

2. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, луч $AC$ наложится на луч $A_1C_1$.

3. Поскольку $\angle B = \angle B_1$, луч $BC$ наложится на луч $B_1C_1$.

4. Вершина $C$ является точкой пересечения лучей $AC$ и $BC$. Соответственно, вершина $C_1$ — точка пересечения лучей $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Так как лучи попарно совпали, то их точки пересечения ($C$ и $C_1$) также совпадут.

5. Таким образом, все три вершины треугольника $\triangle ABC$ совпали с соответствующими вершинами треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что треугольники полностью совместились, следовательно, они равны.

Ответ: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.