Номер 8.15, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.15. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие медианы.

Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По определению, равенство треугольников означает, что их соответствующие стороны и углы равны:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Необходимо доказать, что соответствующие медианы этих треугольников равны. Возьмем для доказательства медианы, проведенные из вершин $B$ и $B_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Обозначим их $BM$ и $B_1M_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Докажем их равенство.

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$, так как это соответствующие стороны исходных равных треугольников.

2. Угол $\angle A$ в треугольнике $\triangle ABM$ равен углу $\angle A_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1M_1$, так как это соответствующие углы исходных равных треугольников.

3. Так как $BM$ — медиана $\triangle ABC$, то точка $M$ является серединой стороны $AC$, и, следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, так как $B_1M_1$ — медиана $\triangle A_1B_1C_1$, точка $M_1$ является серединой стороны $A_1C_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Поскольку из равенства исходных треугольников мы знаем, что $AC = A_1C_1$, то равны и их половины: $AM = A_1M_1$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABM$ ($AB$, $AM$ и $\angle A$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle A_1B_1M_1$ ($A_1B_1$, $A_1M_1$ и $\angle A_1$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BM$ соответствует стороне $B_1M_1$, а значит $BM = B_1M_1$.

Аналогичным образом можно доказать равенство и для двух других пар соответствующих медиан (проведенных из вершин $A$ и $A_1$; $C$ и $C_1$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: В равных треугольниках соответствующие медианы равны.