Номер 8.11, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.11. На сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и OD (рис. 8.9). Произвольная точка Е биссектрисы этого угла соединена с точками С и D. Докажите, что $EC = ED$.

Рис. 8.9

Для доказательства равенства отрезков $EC$ и $ED$ рассмотрим треугольники $\triangle OEC$ и $\triangle OED$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $OC$ равна стороне $OD$ ($OC = OD$) по условию задачи.

2. Сторона $OE$ является общей для обоих треугольников.

3. Угол $\angle COE$ равен углу $\angle DOE$ ($\angle COE = \angle DOE$), так как по условию луч $OE$ является биссектрисой угла $AOB$.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle OEC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle OED$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle OEC$ равен треугольнику $\triangle OED$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $EC$ в треугольнике $\triangle OEC$ лежит напротив угла $\angle EOC$, а сторона $ED$ в треугольнике $\triangle OED$ лежит напротив равного ему угла $\angle EOD$. Значит, эти стороны равны.

Таким образом, $EC = ED$.

Ответ: Что и требовалось доказать.