Номер 8.12, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.12. На рисунке 8.10 $AO = OB$ и $DO = OC$. Докажите равенство отрезков $\text{AD}$ и $\text{BC}$.

Рис. 8.10

Рассмотрим треугольники $△AOD$ и $△BOC$.

Согласно условию задачи, нам дано:

1. Сторона $AO$ треугольника $AOD$ равна стороне $OB$ треугольника $BOC$ ($AO = OB$).
2. Сторона $DO$ треугольника $AOD$ равна стороне $OC$ треугольника $BOC$ ($DO = OC$).

Угол $∠AOD$ и угол $∠BOC$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением отрезков $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠AOD = ∠BOC$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $△AOD$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $△BOC$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $AOD$ равен треугольнику $BOC$.

$△AOD ≅ △BOC$

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $AD$ в треугольнике $AOD$ лежит напротив угла $∠AOD$. Сторона $BC$ в треугольнике $BOC$ лежит напротив угла $∠BOC$. Поскольку $∠AOD = ∠BOC$, стороны $AD$ и $BC$ являются соответствующими.

Значит, $AD = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $AD$ и $BC$ доказано.