Номер 8.19, страница 51 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

8.19. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника. Будут ли эти треугольники равны? Приведите пример.

Нет, не обязательно. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники называются подобными, но не всегда являются равными (конгруэнтными).

Равенство двух углов у двух треугольников гарантирует, что и третьи углы у них будут равны, так как сумма углов в любом треугольнике постоянна и равна $180^\circ$. Пусть у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ дано, что $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Тогда третий угол $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$, и $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$. Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то и $\angle C = \angle C_1$.

Это означает, что треугольники имеют одинаковую форму, но их размеры (длины сторон) могут различаться. Для равенства треугольников необходимо, чтобы выполнялся один из признаков равенства (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам), которые требуют равенства не только углов, но и хотя бы одной соответствующей стороны.

Пример:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

1. В треугольнике $\triangle ABC$ пусть $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, а катет $BC = 5$ см. Тогда $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. В треугольнике $\triangle A_1B_1C_1$ пусть $\angle C_1 = 90^\circ$, $\angle A_1 = 30^\circ$, а катет $B_1C_1 = 10$ см. Тогда $\angle B_1 = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В этих треугольниках два угла соответственно равны: $\angle A = \angle A_1 = 30^\circ$ и $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$. Однако треугольники не равны, так как их соответствующие стороны имеют разную длину (например, катет $BC = 5$ см, а катет $B_1C_1 = 10$ см). Таким образом, $\triangle ABC \neq \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: нет, треугольники не обязательно будут равны. Они будут подобными.