Номер 8.14, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.14. Три деревни $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ расположены так, что деревня $\text{B}$ находится в 15 км к югу от $\text{A}$, а деревня $\text{C}$ — в 7 км к северо-востоку от $\text{B}$. Три другие деревни $\text{M}$, $\text{N}$ и $\text{K}$ расположены так, что деревня $\text{N}$ находится в 15 км к западу от $\text{M}$, а деревня $\text{K}$ в 7 км к северо-западу от $\text{M}$. Сравните расстояния между деревнями $\text{A}$, $\text{C}$ и $\text{N}$, $\text{K}$.

Анализ расположения деревень A, B и C

Для определения расстояния между деревнями A и C рассмотрим их взаимное расположение как вершины треугольника $\triangle ABC$. Из условия известно, что деревня B находится в 15 км к югу от A. Это означает, что расстояние между A и B составляет 15 км, то есть длина стороны $AB = 15$ км. При этом вектор, направленный из B в A ($\vec{BA}$), указывает на север. Деревня C находится в 7 км к северо-востоку от B. Это означает, что расстояние между B и C составляет 7 км, то есть длина стороны $BC = 7$ км. Вектор $\vec{BC}$ указывает на северо-восток. Угол между направлением на север (вектор $\vec{BA}$) и направлением на северо-восток (вектор $\vec{BC}$) равен $45^\circ$. Этот угол является углом треугольника $\triangle ABC$ при вершине B, то есть $\angle ABC = 45^\circ$. Таким образом, мы имеем треугольник $\triangle ABC$, в котором известны длины двух сторон ($AB=15$ км, $BC=7$ км) и угол между ними ($\angle ABC=45^\circ$). Расстояние между деревнями A и C — это длина третьей стороны $AC$.

Анализ расположения деревень M, N и K

Аналогичным образом рассмотрим расположение деревень M, N и K как вершины треугольника $\triangle MNK$. Из условия известно, что деревня N находится в 15 км к западу от M. Это означает, что расстояние между M и N составляет 15 км, то есть длина стороны $MN = 15$ км. Вектор $\vec{MN}$ указывает на запад. Деревня K находится в 7 км к северо-западу от M. Это означает, что расстояние между M и K составляет 7 км, то есть длина стороны $MK = 7$ км. Вектор $\vec{MK}$ указывает на северо-запад. Угол между направлением на запад (вектор $\vec{MN}$) и направлением на северо-запад (вектор $\vec{MK}$) равен $45^\circ$. Этот угол является углом треугольника $\triangle MNK$ при вершине M, то есть $\angle NMK = 45^\circ$. Таким образом, мы имеем треугольник $\triangle MNK$, в котором известны длины двух сторон ($MN=15$ км, $MK=7$ км) и угол между ними ($\angle NMK=45^\circ$). Расстояние между деревнями N и K — это длина третьей стороны $NK$.

Сравнение расстояний

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle MNK$. В $\triangle ABC$ имеем: сторона $AB = 15$ км, сторона $BC = 7$ км, угол между ними $\angle ABC = 45^\circ$. В $\triangle MNK$ имеем: сторона $MN = 15$ км, сторона $MK = 7$ км, угол между ними $\angle NMK = 45^\circ$. Мы видим, что две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника: $AB = MN = 15$ км, $BC = MK = 7$ км, $\angle ABC = \angle NMK = 45^\circ$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ABC$ равен треугольнику $NMK$ (обозначение $\triangle ABC \cong \triangle NMK$ не совсем корректно, так как $BC=MK$, правильнее было бы $\triangle ABC \cong \triangle NMK$ при условии $BC=NM$ и $AB=MK$, но для равенства длин третьих сторон это не имеет значения). Правильнее сказать, что $\triangle ABC$ конгруэнтен треугольнику с вершинами N, M, K, где $AB$ соответствует $MN$, $BC$ соответствует $MK$, и угол $\angle B$ соответствует углу $\angle M$. По теореме косинусов, длины третьих сторон $AC$ и $NK$ вычисляются по одинаковым формулам: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) = 15^2 + 7^2 - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$ $NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos(\angle NMK) = 15^2 + 7^2 - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$ Поскольку правые части выражений равны, то равны и левые: $AC^2 = NK^2$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, то $AC = NK$.

Ответ: Расстояние между деревнями A и C равно расстоянию между деревнями N и K.