Номер 8.16, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.16. На рисунке 8.12 точки $A, B, C$ принадлежат одной прямой. Точки $D_1$ и $D_2$ лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники $\triangle ABD_1$ и $\triangle ABD_2$ равны, то треугольники $\triangle BCD_1$ и $\triangle BCD_2$ тоже равны.

Рис. 8.12

Для доказательства равенства треугольников $BCD_1$ и $BCD_2$ воспользуемся данными из условия задачи.

1. Анализ условия.

По условию, треугольники $ABD_1$ и $ABD_2$ равны. Из равенства двух треугольников следует равенство их соответствующих элементов: сторон и углов. Таким образом, из того, что $\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$, мы можем заключить:

- $BD_1 = BD_2$ (как соответствующие стороны равных треугольников).

- $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$ (как соответствующие углы равных треугольников).

2. Нахождение равных углов.

Точки A, B, C лежат на одной прямой. Это означает, что углы $\angle ABD_1$ и $\angle CBD_1$ являются смежными, а их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle CBD_1 = 180^\circ - \angle ABD_1$.

Аналогично, углы $\angle ABD_2$ и $\angle CBD_2$ также смежные, и их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle CBD_2 = 180^\circ - \angle ABD_2$.

Поскольку из пункта 1 мы знаем, что $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$, то и смежные с ними углы будут равны:

$\angle CBD_1 = 180^\circ - \angle ABD_1 = 180^\circ - \angle ABD_2 = \angle CBD_2$.

3. Доказательство равенства треугольников $BCD_1$ и $BCD_2$.

Рассмотрим треугольники $BCD_1$ и $BCD_2$. Сравним их элементы:

- Сторона $BD_1$ равна стороне $BD_2$ (из пункта 1).

- Угол $\angle CBD_1$ равен углу $\angle CBD_2$ (из пункта 2).

- Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle BCD_1$ и $\triangle BCD_2$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Равенство треугольников $BCD_1$ и $BCD_2$ доказано, так как они равны по двум сторонам ($BD_1 = BD_2$ и общая сторона $BC$) и углу между ними ($\angle CBD_1 = \angle CBD_2$).