Номер 8.13, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.13. На рисунке 8.11 угол $\text{A}$ равен углу $\text{B}$, $AD = BC$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 8.11

Для доказательства равенства отрезков $AC$ и $BD$ рассмотрим два треугольника: $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$.

Сравним эти треугольники по известным нам элементам из условия задачи:

1. Сторона $AD$ равна стороне $BC$ ($AD = BC$) по условию. На рисунке равенство этих сторон отмечено одинаковыми черточками.

2. Угол $\angle DAB$ равен углу $\angle CBA$ ($\angle A = \angle B$) по условию. На рисунке равенство этих углов отмечено одинаковыми дугами.

3. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle DAB$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CBA$.

Следовательно, $\triangle DAB = \triangle CBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. В треугольнике $\triangle DAB$ сторона $BD$ лежит напротив угла $\angle DAB$. В треугольнике $\triangle CBA$ сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle CBA$. Поскольку углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ равны, то и противолежащие им стороны $BD$ и $AC$ также равны.

Таким образом, мы доказали, что $AC = BD$.

Ответ: Равенство отрезков $AC = BD$ доказано, так как они являются соответствующими сторонами в равных треугольниках $\triangle DAB$ и $\triangle CBA$. Треугольники равны по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними).