Номер 9.6, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.6. На рисунке 9.7 угол $\angle DBC$ равен углу $\angle DAC$, $BO = AO$. Докажите, что угол $\angle C$ равен углу $\angle D$ и $AC = BD$.

Рис. 9.7

Для доказательства обоих утверждений сначала докажем равенство треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$, где $O$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$.

1. $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные углы.

2. По условию, $\angle DAC = \angle DBC$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезках $AC$ и $BD$, эти углы можно обозначить как $\angle DAO$ и $\angle CBO$ соответственно. Таким образом, $\angle DAO = \angle CBO$.

3. По условию, $AO = BO$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ есть две пары соответственно равных углов ($\angle DAO = \angle CBO$ и $\angle AOD = \angle BOC$) и пара равных сторон ($AO=BO$), которые не являются общими для этих углов. Треугольники равны по признаку равенства по стороне и двум углам (AAS). Следовательно, $\triangle AOD \cong \triangle BOC$.

Из доказанного равенства треугольников $\triangle AOD \cong \triangle BOC$ следует равенство их соответствующих элементов.

Углу $\angle ADO$ в треугольнике $\triangle AOD$ соответствует угол $\angle BCO$ в треугольнике $\triangle BOC$.

Угол $\angle ADO$ — это и есть угол $D$ в треугольнике $\triangle ABD$. Угол $\angle BCO$ — это и есть угол $C$ в треугольнике $\triangle ABC$.

Следовательно, $\angle D = \angle C$.

Ответ: Равенство $\angle C = \angle D$ доказано.

Из доказанного ранее равенства треугольников $\triangle AOD \cong \triangle BOC$ также следует равенство их соответствующих сторон.

Стороне $OD$ в треугольнике $\triangle AOD$ соответствует сторона $OC$ в треугольнике $\triangle BOC$. Следовательно, $OD = OC$.

Длина отрезка $AC$ является суммой длин отрезков $AO$ и $OC$, то есть $AC = AO + OC$.

Длина отрезка $BD$ является суммой длин отрезков $BO$ и $OD$, то есть $BD = BO + OD$.

По условию задачи $AO = BO$, и мы доказали, что $OC = OD$. Подставляя эти равенства, получаем:

$AC = AO + OC = BO + OD = BD$

Следовательно, $AC = BD$.

Ответ: Равенство $AC = BD$ доказано.