Номер 9.12, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.12. На рисунке 9.13 $\angle 1$ равен $\angle 2$, $\angle 3$ равен $\angle 4$. Докажите, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны. Найдите $\text{AB}$ и $\text{BC}$, если $AD = 19 \text{ см}$, $CD = 11 \text{ см}$.

Рис. 9.13

Докажите, что треугольники ABC и CDA равны

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Для доказательства их равенства необходимо сравнить их элементы.

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников, следовательно, их длины равны.

2. По условию задачи, $\angle 1 = \angle 2$. На рисунке $\angle 1$ — это $\angle BCA$, а $\angle 2$ — это $\angle DAC$. Таким образом, $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы прилегают к общей стороне $AC$.

3. Также по условию, $\angle 3 = \angle 4$. На рисунке $\angle 3$ — это $\angle DCA$, а $\angle 4$ — это $\angle BAC$. Таким образом, $\angle DCA = \angle BAC$. Эти углы также прилегают к общей стороне $AC$.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AC$, $\angle BAC$, $\angle BCA$ в $\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($AC$, $\angle DCA$, $\angle DAC$ в $\triangle CDA$), то эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $CDA$ доказано.

Найдите AB и BC, если AD = 19 см, CD = 11 см

Из доказанного равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle CDA$ следует, что их соответствующие стороны равны. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны.

Сторона $AB$ в треугольнике $ABC$ лежит напротив угла $\angle BCA$ ($\angle 1$). В равном ему треугольнике $CDA$ напротив соответствующего угла $\angle DAC$ ($\angle 2$) лежит сторона $CD$. Так как $\angle 1 = \angle 2$, то и противолежащие им стороны равны: $AB = CD$. По условию $CD = 11$ см, следовательно, $AB = 11$ см.

Сторона $BC$ в треугольнике $ABC$ лежит напротив угла $\angle BAC$ ($\angle 4$). В равном ему треугольнике $CDA$ напротив соответствующего угла $\angle DCA$ ($\angle 3$) лежит сторона $AD$. Так как $\angle 4 = \angle 3$, то и противолежащие им стороны равны: $BC = AD$. По условию $AD = 19$ см, следовательно, $BC = 19$ см.

Ответ: $AB = 11$ см, $BC = 19$ см.