Номер 9.13, страница 55 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.13. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие биссектрисы.

Пусть даны два равных треугольника: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из этого равенства следует, что их соответствующие элементы равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$, а также $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Докажем, что соответствующие биссектрисы этих треугольников равны. Для этого проведем, например, биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ из вершин $B$ и $B_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Нам необходимо доказать, что $BD = B_1D_1$.

Для доказательства равенства отрезков $BD$ и $B_1D_1$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Сравним их элементы:

1) $AB = A_1B_1$ как соответствующие стороны исходных равных треугольников.

2) $\angle A = \angle A_1$ как соответствующие углы исходных равных треугольников.

3) Поскольку $BD$ и $B_1D_1$ — биссектрисы равных углов $\angle B$ и $\angle B_1$, они делят эти углы на равные половины. Следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$, откуда $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ имеют равные сторону и два прилежащих к ней угла ($AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), эти треугольники равны: $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BD$ в треугольнике $\triangle ABD$ соответствует стороне $B_1D_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1D_1$, следовательно, $BD = B_1D_1$.

Аналогичное доказательство можно провести для биссектрис, проведенных из других соответственных вершин. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. Равенство соответствующих биссектрис в равных треугольниках следует из того, что каждая биссектриса отсекает от исходного треугольника меньший треугольник (например, $\triangle ABD$ от $\triangle ABC$). Эти меньшие треугольники, образованные в двух равных исходных треугольниках ($\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$), равны между собой по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Так как биссектрисы являются соответствующими сторонами в этих новых равных треугольниках, они равны между собой.