Номер 9.10, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.10. На рисунке 9.11 лучи $\text{AD}$ и $\text{BC}$ пересекаются в точке $\text{O}$, $\angle 1$ равен $\angle 2$, $OC = OD$. Докажите, что $\angle A$ равен $\angle B$.

Рис. 9.11

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Для доказательства равенства углов $A$ и $B$ сравним эти треугольники. В них:

1. $OC = OD$ по условию задачи.

2. $\angle ACO = \angle BDO$. В условии сказано, что $\angle 1 = \angle 2$, а из рисунка видно, что угол 1 — это $\angle ACO$, а угол 2 — это $\angle BDO$.

3. $\angle AOC = \angle BOD$, так как эти углы являются вертикальными, образованными при пересечении прямых $AD$ и $BC$.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle AOC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle BOD$), то эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ следует равенство их соответственных элементов. Угол $A$ (который является углом $\angle OAC$) в треугольнике $\triangle AOC$ соответствует углу $B$ (который является углом $\angle OBD$) в треугольнике $\triangle BOD$.

Следовательно, $\angle A = \angle B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle A = \angle B$ доказано.