Номер 9.11, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.11. На рисунке 9.12 $BH \perp AC$, $DP \perp AC$, $AH = CP$ и угол $BAC$ равен углу $ACD$. Найдите равные треугольники.

Рис. 9.12

Для нахождения равных треугольников проанализируем данные условия и геометрическую конфигурацию.

Дано:

1. $BH \perp AC$ и $DP \perp AC$. Это означает, что $\triangle BHA$ и $\triangle DPC$ — прямоугольные треугольники, где $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle DPC = 90^\circ$.

2. $AH = CP$.

3. $\angle BAC = \angle ACD$.

Из расположения точек $H, A, C, P$ на одной прямой, как показано на рисунке, следует, что углы $\angle BAC$ и $\angle BAH$ являются смежными, а углы $\angle ACD$ и $\angle DCP$ также являются смежными.

Докажем, что сторона $AB$ равна стороне $CD$.

1. Так как $\angle BAC + \angle BAH = 180^\circ$, то их косинусы связаны соотношением $\cos(\angle BAC) = \cos(180^\circ - \angle BAH) = -\cos(\angle BAH)$. В прямоугольном треугольнике $BHA$ по определению косинуса $\cos(\angle BAH) = \frac{AH}{AB}$. Таким образом, $\cos(\angle BAC) = -\frac{AH}{AB}$.

2. Аналогично, так как $\angle ACD + \angle DCP = 180^\circ$, то $\cos(\angle ACD) = \cos(180^\circ - \angle DCP) = -\cos(\angle DCP)$. В прямоугольном треугольнике $DPC$ $\cos(\angle DCP) = \frac{CP}{CD}$. Таким образом, $\cos(\angle ACD) = -\frac{CP}{CD}$.

3. По условию задачи $\angle BAC = \angle ACD$. Следовательно, равны и их косинусы: $\cos(\angle BAC) = \cos(\angle ACD)$.

Приравнивая выражения для косинусов, получаем:

$-\frac{AH}{AB} = -\frac{CP}{CD}$

Поскольку по условию $AH = CP$ и эти отрезки имеют ненулевую длину, мы можем сократить их в уравнении:

$\frac{1}{AB} = \frac{1}{CD}$

Отсюда следует, что $AB = CD$.

Теперь, зная, что $AB=CD$, мы можем определить пары равных треугольников.

Пара 1: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$:

• $AB = CD$ (доказано выше).
• $\angle BAC = \angle ACD$ (по условию).
• $AC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Пара 2: $\triangle BHA$ и $\triangle DPC$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $BHA$ и $DPC$:

• $AB = CD$ (гипотенузы, доказано выше).
• $AH = CP$ (катеты, по условию).

Следовательно, $\triangle BHA = \triangle DPC$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из этого равенства также следует, что $BH = DP$.

Пара 3: $\triangle BHC$ и $\triangle DPA$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $BHC$ и $DPA$:

• $BH = DP$ (катеты, следует из равенства $\triangle BHA = \triangle DPC$).
• $HC = HA + AC$. Так как $HA = CP$, то $HC = CP + AC$.
• $PA = PC + AC$.
• Следовательно, $HC = PA$ (катеты).

Следовательно, $\triangle BHC = \triangle DPA$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам).

Ответ: Равными треугольниками являются: $\triangle ABC = \triangle CDA$, $\triangle BHA = \triangle DPC$, $\triangle BHC = \triangle DPA$.