Номер 9.14, страница 55 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.14. На рисунке 9.14 треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Отрезки $\text{CD}$ и $C_1D_1$ образуют со сторонами соответственно $\text{CB}$ и $C_1B_1$ равные углы. Докажите, что $AD = A_1D_1$.

Рис. 9.14

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$. Наша цель — доказать их равенство, из которого будет следовать равенство отрезков $AD$ и $A_1D_1$.

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:

• $AC = A_1C_1$
• $\angle A = \angle A_1$
• $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$

Также по условию дано, что отрезки $CD$ и $C_1D_1$ образуют со сторонами $CB$ и $C_1B_1$ равные углы, то есть $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$.

Найдем угол $\angle ACD$. Он является частью угла $\angle ACB$. Мы можем выразить его как разность: $\angle ACD = \angle ACB - \angle DCB$.

Аналогично для другого треугольника: $\angle A_1C_1D_1 = \angle A_1C_1B_1 - \angle D_1C_1B_1$.

Поскольку правые части этих выражений состоят из попарно равных углов ($\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$ и $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$), то и левые части равны. Следовательно, $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$.

Теперь у нас есть все необходимое для сравнения треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle A_1C_1D_1$. В этих треугольниках:

• $AC = A_1C_1$ (из равенства исходных треугольников).
• $\angle A = \angle A_1$ (так как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$).
• $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$ (как было доказано выше).

Сторона $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle ACD$ в треугольнике $ACD$ соответственно равны стороне $A_1C_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle A_1C_1D_1$ в треугольнике $A_1C_1D_1$.

Следовательно, $\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ACD$ соответствует стороне $A_1D_1$ в треугольнике $\triangle A_1C_1D_1$.

Таким образом, $AD = A_1D_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = A_1D_1$ доказано.