Новые знания, страница 57 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя линейку и транспортир, изобразите какой-нибудь треугольник $ABC$, для которого $AB = 5$ см, углы $\text{A}$ и $\text{B}$ равны $70^\circ$.

Как вы думаете, будет ли этот треугольник равнобедренным?

Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC = BC$), у которого $AB = 4$ см. Из вершины $\text{C}$ проведите биссектрису, медиану и высоту.

Верно ли, что все они совпадают?

Используя линейку и транспортир, изобразите какой-нибудь треугольник АВС, для которого AB = 5 см, углы А и В равны 70°.

Построение треугольника $ABC$ выполняется в несколько шагов:

1. С помощью линейки чертим отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. Прикладываем транспортир к точке $A$ так, чтобы его основание совпадало с лучом $AB$. Отмечаем угол $70^{\circ}$ и проводим луч из точки $A$ через эту отметку.
3. Повторяем действие для точки $B$: прикладываем транспортир к точке $B$ и лучу $BA$, отмечаем угол $70^{\circ}$ и проводим луч из точки $B$.
4. Точка, в которой пересекутся два построенных луча, является вершиной $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Как вы думаете, будет ли этот треугольник равнобедренным?

Да, этот треугольник является равнобедренным. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. В нашем треугольнике $ABC$ дано, что $\angle A = \angle B = 70^{\circ}$. Углы при основании $AB$ равны, следовательно, стороны, противолежащие этим углам, также равны: $AC = BC$. Поскольку у треугольника $ABC$ две стороны равны, он по определению является равнобедренным.

Ответ: Да, треугольник будет равнобедренным.

Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник АВС (AC = BC), у которого АВ = 4 см. Из вершины С проведите биссектрису, медиану и высоту.

Для построения треугольника $ABC$ и проведения указанных линий необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ (основание) длиной 4 см.
2. Из точки $A$ и точки $B$ с помощью циркуля провести две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть больше половины длины $AB$, то есть больше 2 см).
3. Точку пересечения этих дуг обозначить как $C$. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным с боковыми сторонами $AC = BC$.
4. Биссектриса из вершины C: из вершины $C$ провести луч, который делит угол $\angle ACB$ на два равных угла.
5. Медиана из вершины C: найти середину стороны $AB$ (точку $M$) и соединить ее с вершиной $C$. Отрезок $CM$ является медианой.
6. Высота из вершины C: из вершины $C$ опустить перпендикуляр на основание $AB$. Этот отрезок является высотой.

При построении мы заметим, что все три линии (биссектриса, медиана и высота) из вершины $C$ совпадут в одном отрезке, который соединяет точку $C$ с серединой основания $AB$.

Верно ли, что все они совпадают?

Да, это утверждение верно. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Это одно из ключевых свойств равнобедренного треугольника. В построенном треугольнике $ABC$ основанием является сторона $AB$, а вершина $C$ — вершиной при равных сторонах $AC$ и $BC$. Следовательно, биссектриса угла $C$, медиана, проведенная к стороне $AB$, и высота, опущенная на сторону $AB$, представляют собой один и тот же отрезок.

Ответ: Да, верно, все три линии совпадают.