Номер 10.4, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.4. Изобразите какой-нибудь равнобедренный прямоугольный треугольник, одной стороной которого является отрезок $\text{AB}$, а вершина $\text{C}$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.8).

Рис. 10.8

а)Чтобы построить равнобедренный прямоугольный треугольник с использованием отрезка AB, можно рассмотреть два случая: AB является катетом или гипотенузой.

Случай 1: AB — катет.

Пусть прямой угол будет в вершине B. Тогда треугольник ABC будет прямоугольным с прямым углом B и равнобедренным, если $AB = BC$. Также сторона BC должна быть перпендикулярна AB. Чтобы построить такой перпендикулярный отрезок равной длины на клетчатой бумаге, можно использовать следующий прием: если для построения отрезка AB мы смещались на $x$ клеток по горизонтали и на $y$ клеток по вертикали, то для перпендикулярного отрезка равной длины нужно сместиться на $y$ клеток по горизонтали и $x$ клеток по вертикали (с учетом направления).

Чтобы попасть из точки A в точку B, нужно сместиться на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх. Чтобы из точки B построить перпендикулярный отрезок BC равной длины, нужно сместиться на 1 клетку влево и 3 клетки вверх (или на 1 клетку вправо и 3 клетки вниз). Выберем первый вариант. Отложив от точки B 1 клетку влево и 3 клетки вверх, мы найдем искомую вершину C. В полученном треугольнике ABC $\angle B = 90^\circ$ и $AB=BC$.

Случай 2: AB — гипотенуза.

В этом случае прямой угол будет в вершине C, а катеты AC и BC будут равны. Вершина C находится в точке, из которой отрезки AC и BC перпендикулярны и равны. Используя систему координат, где $A(0, 1)$ и $B(3, 2)$, можно найти два возможных положения для точки C: $C_1(1, 3)$ и $C_2(2, 0)$. Обе точки лежат в узлах сетки. Например, для точки $C(1, 3)$ длины сторон в квадратах равны:

$AC^2 = (1-0)^2 + (3-1)^2 = 1^2 + 2^2 = 5$

$BC^2 = (1-3)^2 + (3-2)^2 = (-2)^2 + 1^2 = 5$

$AB^2 = (3-0)^2 + (2-1)^2 = 3^2 + 1^2 = 10$

Так как $AC^2 + BC^2 = 5 + 5 = 10 = AB^2$, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом C. Так как $AC=BC$, он также является равнобедренным.

Ответ: Существует несколько решений. Например, можно построить точку C, сместившись от точки B на 1 клетку влево и 3 клетки вверх. В этом случае AB будет катетом. Другой вариант: построить точку C, которая находится на 1 клетку правее и на 2 клетки выше точки A. В этом случае AB будет гипотенузой.

б)В этом случае отрезок AB горизонтален, его длина составляет 4 клетки.

Случай 1: AB — катет.

Пусть прямой угол будет в вершине A. Тогда катет AC должен быть равен по длине катету AB (4 клетки) и быть ему перпендикулярен. Так как AB — горизонтальный отрезок, AC должен быть вертикальным. Отложив от точки A 4 клетки вверх (или вниз), получим искомую вершину C. Аналогичные построения можно выполнить из точки B.

Случай 2: AB — гипотенуза.

Если AB — гипотенуза, то $\triangle ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с прямым углом при вершине C. В таком треугольнике высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, является также медианой. Это означает, что основание высоты — это середина отрезка AB. Длина этой высоты равна половине длины гипотенузы.

Длина AB равна 4 клеткам. Середина AB находится на расстоянии 2 клеток от A (и от B). Длина высоты из C равна $4 / 2 = 2$ клетки.

Таким образом, чтобы найти вершину C, нужно найти середину отрезка AB, а затем из этой точки отложить перпендикулярно отрезку AB (то есть вертикально вверх или вниз) отрезок длиной 2 клетки. Конец этого отрезка и будет точкой C.

Ответ: Существует несколько решений. Например, можно найти середину отрезка AB и от нее подняться на 2 клетки вверх. Найденная точка будет вершиной C, а AB — гипотенузой. Другой вариант: от точки A подняться на 4 клетки вверх. Найденная точка будет вершиной C, а AB — катетом.