Номер 10.10, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.10. На продолжении сторон правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ (рис. 10.14). Докажите, что треугольник $A_1B_1C_1$ правильный.

Рис. 10.14

Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$. Это означает, что $AB = BC = CA = a$, и все углы треугольника равны $60^\circ$: $\angle CAB = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$.

По условию задачи, на продолжениях сторон отложены равные отрезки. Обозначим их длину как $x$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = x$.

Согласно условию и рисунку, точка $A_1$ лежит на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ (точки $C, A, A_1$ лежат на одной прямой), точка $B_1$ — на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ (точки $A, B, B_1$ лежат на одной прямой), и точка $C_1$ — на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ (точки $B, C, C_1$ лежат на одной прямой).

Чтобы доказать, что треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным, необходимо установить равенство длин его сторон: $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$.

Для этого докажем равенство трех треугольников: $\triangle A_1AB_1$, $\triangle B_1BC_1$ и $\triangle C_1CA_1$.

Рассмотрим эти треугольники и сравним их элементы попарно.

1. Сравнение сторон:

Найдем длины двух сторон для каждого из этих треугольников.

• $AA_1 = x$ (по условию).
• $BB_1 = x$ (по условию).
• $CC_1 = x$ (по условию).

Следовательно, $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

• Сторона $AB_1$ состоит из отрезков $AB$ и $BB_1$. Так как точки $A, B, B_1$ лежат на одной прямой, $AB_1 = AB + BB_1 = a + x$.
• Сторона $BC_1$ состоит из отрезков $BC$ и $CC_1$. Так как точки $B, C, C_1$ лежат на одной прямой, $BC_1 = BC + CC_1 = a + x$.
• Сторона $CA_1$ состоит из отрезков $CA$ и $AA_1$. Так как точки $C, A, A_1$ лежат на одной прямой, $CA_1 = CA + AA_1 = a + x$.

Следовательно, $AB_1 = BC_1 = CA_1$.

2. Сравнение углов между этими сторонами:

• В треугольнике $\triangle A_1AB_1$ угол $\angle A_1AB_1$ является смежным с углом $\angle CAB$ треугольника $ABC$, так как точки $C, A, A_1$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle A_1AB_1 = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• В треугольнике $\triangle B_1BC_1$ угол $\angle B_1BC_1$ является смежным с углом $\angle ABC$ треугольника $ABC$, так как точки $A, B, B_1$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle B_1BC_1 = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
• В треугольнике $\triangle C_1CA_1$ угол $\angle C_1CA_1$ является смежным с углом $\angle BCA$ треугольника $ABC$, так как точки $B, C, C_1$ лежат на одной прямой. Таким образом, $\angle C_1CA_1 = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Следовательно, $\angle A_1AB_1 = \angle B_1BC_1 = \angle C_1CA_1 = 120^\circ$.

3. Вывод о равенстве треугольников:

Мы установили, что в треугольниках $\triangle A_1AB_1$, $\triangle B_1BC_1$ и $\triangle C_1CA_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны:

• $AA_1 = BB_1 = CC_1 = x$
• $AB_1 = BC_1 = CA_1 = a+x$
• $\angle A_1AB_1 = \angle B_1BC_1 = \angle C_1CA_1 = 120^\circ$

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle A_1AB_1 \cong \triangle B_1BC_1 \cong \triangle C_1CA_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их третьих сторон, которые являются сторонами треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1$.

Так как все три стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны, он является правильным (равносторонним), что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным, что доказано выше на основе равенства треугольников $\triangle A_1AB_1$, $\triangle B_1BC_1$ и $\triangle C_1CA_1$ по первому признаку (две стороны и угол между ними).