Номер 10.14, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.14. В треугольнике $FGH$ угол $\text{1}$ равен углу $\text{2}$ и равен углу $\text{3}$ (рис. 10.16). Верно ли утверждение о том, что это треугольник:

а) равнобедренный;

б) равносторонний;

в) правильный?

Рис. 10.16

Для решения задачи проанализируем условие и рисунок. На рисунке изображен треугольник $FGH$. Углы 1 и 3 однозначно показаны как внешние углы треугольника при вершинах $F$ и $H$ соответственно. Положение дуги угла 2 также указывает на то, что это внешний угол, но при вершине $G$. Если бы мы предположили, что угол 2 — это внутренний угол $(\angle FGH)$, то возникло бы противоречие. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, $\angle 1 = \angle G + \angle H$. Из условия $\angle 1 = \angle 2$ (где $\angle 2 = \angle G$) следовало бы, что $\angle G + \angle H = \angle G$, что привело бы к $\angle H = 0^\circ$. Это невозможно для треугольника. Следовательно, все три угла 1, 2 и 3 являются внешними углами треугольника $FGH$.

Внутренний угол треугольника и смежный с ним внешний угол в сумме составляют $180^\circ$. Обозначим внутренние углы треугольника как $\angle F, \angle G, \angle H$. Тогда:

$\angle F = 180^\circ - \angle 1$

$\angle G = 180^\circ - \angle 2$

$\angle H = 180^\circ - \angle 3$

По условию задачи, все три внешних угла равны: $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$. Из этого следует, что и все внутренние углы треугольника равны между собой: $\angle F = \angle G = \angle H$.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$: $\angle F + \angle G + \angle H = 180^\circ$

Поскольку все углы равны, можно записать: $3 \cdot \angle F = 180^\circ$

$\angle F = 180^\circ / 3 = 60^\circ$

Таким образом, все внутренние углы треугольника $FGH$ равны $60^\circ$. Треугольник, у которого все углы равны $60^\circ$, является равносторонним, то есть все его стороны равны ($FG = GH = HF$).

Исходя из этого, ответим на поставленные вопросы.

а) равнобедренный

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого есть как минимум две равные стороны. Поскольку мы установили, что треугольник $FGH$ является равносторонним (все три стороны равны), он, безусловно, имеет и две равные стороны. Таким образом, любой равносторонний треугольник также является равнобедренным.

Ответ: да, верно.

б) равносторонний

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Так как все углы треугольника $FGH$ равны ($\angle F = \angle G = \angle H = 60^\circ$), то и все его стороны равны ($FG = GH = HF$). Следовательно, треугольник является равносторонним.

Ответ: да, верно.

в) правильный

Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. Это определение в точности совпадает с определением равностороннего треугольника (так как если у треугольника равны стороны, то равны и углы, и наоборот). Поскольку мы доказали, что треугольник $FGH$ равносторонний, он также является и правильным.

Ответ: да, верно.