Номер 10.9, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. На сторонах правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $\text{AD}$, $\text{BE}$ и $\text{CF}$. Точки $\text{D}$, $\text{E}$ и $\text{F}$ соединены отрезками (рис. 10.13). Докажите, что треугольник $DEF$ правильный.

Рис. 10.13

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, все его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$).

По условию задачи, на сторонах треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD, BE, CF$. Согласно рисунку, точка $D$ лежит на стороне $AB$, точка $E$ — на стороне $BC$, а точка $F$ — на стороне $AC$. Требуется доказать, что треугольник $DEF$ является правильным.

Для доказательства того, что треугольник $DEF$ правильный, необходимо показать, что все его стороны равны: $DE = EF = FD$. Мы сделаем это, доказав равенство треугольников $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$.

Сначала сравним треугольники $\triangle ADF$ и $\triangle BED$. У них есть следующие равные элементы:

1. Сторона $AD = BE$ по условию задачи.

2. Угол $\angle A = \angle B = 60^\circ$, так как треугольник $ABC$ правильный.

3. Сравним стороны $AF$ и $BD$. Сторона $AF = AC - CF$. Сторона $BD = AB - AD$. Так как $AC = AB$ (стороны правильного треугольника) и $CF = AD$ (из условия $AD=BE=CF$), то и отрезки $AF$ и $BD$ равны.

Таким образом, треугольники $\triangle ADF$ и $\triangle BED$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон: $DF = DE$.

Теперь сравним треугольники $\triangle BED$ и $\triangle CFE$.

1. Сторона $BE = CF$ по условию.

2. Угол $\angle B = \angle C = 60^\circ$.

3. Сравним стороны $BD$ и $CE$. Сторона $BD = AB - AD$. Сторона $CE = BC - BE$. Так как $AB = BC$ и $AD = BE$ (по условию), то $BD = CE$.

Следовательно, треугольники $\triangle BED$ и $\triangle CFE$ также равны по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответственных сторон: $DE = EF$.

Из двух доказанных равенств ($DF = DE$ и $DE = EF$) мы заключаем, что все три стороны треугольника $DEF$ равны между собой: $DF = DE = EF$.

Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является правильным (равносторонним).

Ответ: Утверждение, что треугольник $DEF$ является правильным, доказано.