Номер 10.6, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.6. На рисунке 10.10 $AB = BC$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 10.10

Рассмотрим треугольник $ABC$, который изображен на рисунке. По условию задачи, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. В данном случае это внутренние углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Таким образом, мы можем сделать вывод, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Угол 1, обозначенный на рисунке, является смежным с углом $\angle BAC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому справедливо равенство: $\angle 1 + \angle BAC = 180^\circ$.

Из этого равенства выразим угол 1: $\angle 1 = 180^\circ - \angle BAC$.

Аналогично, угол 2 является смежным с углом $\angle BCA$, и их сумма также равна $180^\circ$: $\angle 2 + \angle BCA = 180^\circ$.

Выразим угол 2: $\angle 2 = 180^\circ - \angle BCA$.

Так как мы ранее установили, что $\angle BAC = \angle BCA$, то правые части полученных выражений для углов 1 и 2 равны. Если от $180^\circ$ отнять равные величины, то результаты будут равными. Следовательно, $\angle 1 = \angle 2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов 1 и 2 доказано. Оно следует из того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным (так как $AB=BC$), а значит, его углы при основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Углы 1 и 2 являются смежными к этим равным внутренним углам, поэтому они также равны между собой.