Номер 10.7, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.7. На рисунке 10.11 $AB = AC$ и $\angle 1$ равен $\angle 2$. Докажите, что $\angle 3$ равен $\angle 4$.

Рис. 10.11

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$.

По условию задачи $AB = AC$, следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle ABC = \angle ACB$. Поскольку точки $D$ и $E$ лежат на стороне $BC$, то $\angle ABE = \angle ABC$ и $\angle ACD = \angle ACB$. Таким образом, $\angle ABE = \angle ACD$.

Также по условию $\angle 1 = \angle 2$. На рисунке $\angle 1$ соответствует $\angle CAD$, а $\angle 2$ — углу $\angle BAE$. Значит, $\angle BAE = \angle CAD$.

Сравним треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle ACD$. Для них выполняются следующие равенства:

• $AB = AC$ (по условию);
• $\angle ABE = \angle ACD$ (как углы при основании равнобедренного треугольника);
• $\angle BAE = \angle CAD$ (по условию).

Таким образом, $\triangle ABE \cong \triangle ACD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. Угол $\angle AEB$ (на рисунке $\angle 4$) треугольника $\triangle ABE$ соответствует углу $\angle ADC$ (на рисунке $\angle 3$) треугольника $\triangle ACD$.

Следовательно, $\angle 3 = \angle 4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол 3 равен углу 4.