Номер 10.2, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.2. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок $\text{AB}$, а вершина $\text{C}$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.6).

Рис. 10.6

а) Для того чтобы треугольник ABC был равнобедренным с основанием AB, необходимо, чтобы его боковые стороны AC и BC были равны, то есть $AC = BC$. Это условие выполняется, когда точка C равноудалена от точек A и B. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это срединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

На рисунке а) основание AB представляет собой горизонтальный отрезок длиной в 4 клетки. Его середина находится на расстоянии 2 клеток от каждой из точек A и B. Срединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку — это вертикальная прямая, проходящая через его середину. Вершина C должна быть одним из узлов сетки, лежащих на этой прямой.

Выберем в качестве вершины C узел сетки, который находится на этой вертикали на 2 клетки выше середины отрезка AB. Чтобы убедиться, что треугольник равнобедренный, рассчитаем длины сторон AC и BC по теореме Пифагора. Катетами для прямоугольных треугольников, гипотенузами которых являются стороны AC и BC, будут отрезки вдоль линий сетки. Для обеих сторон один катет равен половине длины AB (2 клетки), а второй — расстоянию от C до прямой AB (2 клетки).

Длина AC: $AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$

Длина BC: $BC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$

Поскольку $AC = BC$, треугольник является равнобедренным.

Ответ: Один из возможных вариантов построения показан на рисунке. Вершина C выбрана в узле сетки на срединном перпендикуляре к основанию AB.

б) Аналогично предыдущему случаю, вершина C равнобедренного треугольника ABC с основанием AB должна лежать на срединном перпендикуляре к отрезку AB.

На рисунке б) основание AB — это вертикальный отрезок длиной в 2 клетки. Его середина находится на расстоянии 1 клетки от точек A и B. Срединный перпендикуляр к вертикальному отрезку — это горизонтальная прямая, проходящая через его середину.

Выберем в качестве вершины C узел сетки, лежащий на этой горизонтали, например, на расстоянии 2 клеток вправо от отрезка AB. Рассчитаем длины сторон AC и BC. Катеты для стороны AC равны 1 (половина длины AB) и 2 (расстояние от C до прямой AB). Катеты для стороны BC также равны 1 и 2.

Длина AC: $AC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Длина BC: $BC = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Поскольку $AC = BC$, полученный треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: Один из возможных вариантов построения показан на рисунке. Вершина C выбрана в узле сетки на срединном перпендикуляре к основанию AB.