Номер 9.18, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.18. По рисунку 9.18 объясните, как можно найти расстояние от точки А до недоступной точки В, например дерева на острове.

Рис. 9.18

Объяснение метода нахождения расстояния

На рисунке показан геометрический метод нахождения расстояния до недоступного объекта. Этот метод основан на построении на местности треугольника, равного (конгруэнтного) тому, одна из вершин которого находится в недоступной точке. Измерив соответствующую сторону в построенном треугольнике, мы находим искомое расстояние.

Вот пошаговый алгоритм действий:

1. Находясь в точке A, из которой нужно измерить расстояние до точки B, необходимо построить на земле прямую линию AC, перпендикулярную линии визирования AB. Для этого с помощью специального прибора (экера, теодолита) строится прямой угол $∠BAC = 90°$. Длина отрезка AC выбирается произвольной, но удобной для измерения.
2. Переместившись в точку C, необходимо измерить угол $∠BCA$ между направлениями на точку B и точку A.
3. Теперь необходимо построить второй треугольник CDA, который будет равен треугольнику ABC. Для этого:
   • В точке C строится прямая, перпендикулярная отрезку AC. То есть, откладывается угол $∠ACD = 90°$.
   • В точке A строится луч, образующий с отрезком AC угол $∠CAD$, равный измеренному ранее углу $∠BCA$.
4. Точка D будет находиться на пересечении двух построенных на предыдущем шаге направляющих линий.
5. Измерив на местности расстояние между точками C и D, мы получим искомое расстояние AB.

Геометрическое обоснование

Рассмотрим два треугольника, которые у нас получились: $ΔABC$ (исходный) и $ΔCDA$ (построенный).

• Сторона AC у них общая.
• Угол $∠BAC$ прилежит к стороне AC. По построению он равен 90°. В треугольнике $ΔCDA$ к стороне CA прилежит угол $∠ACD$, который по построению также равен 90°. Следовательно, $∠BAC = ∠ACD$.
• Угол $∠BCA$ прилежит к стороне AC. По построению мы сделали угол $∠CAD$ равным ему. Следовательно, $∠BCA = ∠CAD$.

Таким образом, треугольник $ΔABC$ равен треугольнику $ΔCDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

$ΔABC ≅ ΔCDA$

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. В треугольнике $ΔABC$ сторона AB лежит напротив угла $∠BCA$. В треугольнике $ΔCDA$ сторона CD лежит напротив угла $∠CAD$. Так как углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны по построению, то равны и лежащие напротив них стороны:

$AB = CD$

Это означает, что измерив длину отрезка CD на доступной местности, мы находим искомое расстояние до недоступной точки B.

Ответ: Чтобы найти расстояние $AB$, необходимо на местности построить отрезок $AC$ перпендикулярно $AB$. Затем измерить угол $∠BCA$ и построить треугольник $CDA$ так, чтобы $∠ACD = 90°$ и $∠CAD = ∠BCA$. В результате $ΔABC$ будет равен $ΔCDA$, а искомое расстояние $AB$ будет равно длине измеряемого отрезка $CD$.