Номер 9.16, страница 55 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.16. В четырехугольнике $ABCD$ угол $DAB$ равен углу $CBA$, диагонали $\text{AC}$ и $\text{BD}$ образуют со стороной $\text{AB}$ равные углы (рис. 9.16), $AD = 3$ см, $AC = 4$ см, $CD = 5$ см. Найдите $\text{BD}$.

Рис. 9.16

Рассмотрим треугольники $△DAB$ и $△CBA$.

В этих треугольниках сторона $AB$ является общей.

По условию задачи, угол $∠DAB$ равен углу $∠CBA$.

Также по условию, диагонали $AC$ и $BD$ образуют со стороной $AB$ равные углы, что означает $∠CAB = ∠DBA$.

Таким образом, треугольник $△DAB$ равен треугольнику $△CBA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $BD$ в треугольнике $△DAB$ лежит напротив угла $∠DAB$, а сторона $AC$ в треугольнике $△CBA$ лежит напротив угла $∠CBA$. Поскольку углы $∠DAB$ и $∠CBA$ равны, то и противолежащие им стороны равны: $BD = AC$.

В условии дано, что длина диагонали $AC$ составляет 4 см.

Следовательно, длина диагонали $BD$ также равна 4 см.

Ответ: 4 см.