Задания, страница 58 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно запишите равенства элементов треугольника $DEF$, участвующих в признаке равнобедренного треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника — это теоремы, позволяющие сделать вывод о том, что треугольник является равнобедренным, на основе равенства некоторых его элементов. Для треугольника $DEF$ можно сформулировать следующие равенства, участвующие в этих признаках.

Признак по двум равным углам

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Это означает, что равенство двух углов в треугольнике $DEF$ влечет за собой равенство противолежащих им сторон. Возможны три варианта таких равенств:

• Если выполняется равенство углов $ \angle D = \angle E $, то из него следует равенство сторон $DF = EF$.

• Если выполняется равенство углов $ \angle E = \angle F $, то из него следует равенство сторон $DE = DF$.

• Если выполняется равенство углов $ \angle F = \angle D $, то из него следует равенство сторон $EF = DE$.

Ответ: Равенства, участвующие в признаке: если $ \angle D = \angle E $, то $DF = EF$; если $ \angle E = \angle F $, то $DE = DF$; если $ \angle F = \angle D $, то $EF = DE$.

Признак по совпадению медианы и высоты

Если в треугольнике отрезок, проведенный из вершины к противолежащей стороне, является одновременно медианой и высотой, то такой треугольник равнобедренный. Рассмотрим все три возможных случая для треугольника $DEF$ (точки $M, N, K$ лежат на сторонах треугольника):

• Если для отрезка $DM$, проведенного к стороне $EF$, выполняются равенства $EM = MF$ (медиана) и $DM \perp EF$ (высота), то следует равенство сторон $DE = DF$.

• Если для отрезка $EN$, проведенного к стороне $DF$, выполняются равенства $DN = NF$ (медиана) и $EN \perp DF$ (высота), то следует равенство сторон $DE = EF$.

• Если для отрезка $FK$, проведенного к стороне $DE$, выполняются равенства $DK = KE$ (медиана) и $FK \perp DE$ (высота), то следует равенство сторон $DF = EF$.

Ответ: Равенства, участвующие в признаке: (если $EM = MF$ и $DM \perp EF$, то $DE = DF$); (если $DN = NF$ и $EN \perp DF$, то $DE = EF$); (если $DK = KE$ и $FK \perp DE$, то $DF = EF$).

Признак по совпадению биссектрисы и высоты

Если в треугольнике отрезок, проведенный из вершины, является одновременно биссектрисой этого угла и высотой к противолежащей стороне, то треугольник равнобедренный.

• Если для отрезка $DM$, проведенного к стороне $EF$, выполняются равенства $ \angle EDM = \angle FDM $ (биссектриса) и $DM \perp EF$ (высота), то следует равенство сторон $DE = DF$.

• Если для отрезка $EN$, проведенного к стороне $DF$, выполняются равенства $ \angle DEN = \angle FEN $ (биссектриса) и $EN \perp DF$ (высота), то следует равенство сторон $DE = EF$.

• Если для отрезка $FK$, проведенного к стороне $DE$, выполняются равенства $ \angle DFK = \angle EFK $ (биссектриса) и $FK \perp DE$ (высота), то следует равенство сторон $DF = EF$.

Ответ: Равенства, участвующие в признаке: (если $ \angle EDM = \angle FDM $ и $DM \perp EF$, то $DE = DF$); (если $ \angle DEN = \angle FEN $ и $EN \perp DF$, то $DE = EF$); (если $ \angle DFK = \angle EFK $ и $FK \perp DE$, то $DF = EF$).

Признак по совпадению медианы и биссектрисы

Если в треугольнике отрезок, проведенный из вершины, является одновременно медианой к противолежащей стороне и биссектрисой этого угла, то треугольник равнобедренный.

• Если для отрезка $DM$, проведенного к стороне $EF$, выполняются равенства $EM = MF$ (медиана) и $ \angle EDM = \angle FDM $ (биссектриса), то следует равенство сторон $DE = DF$.

• Если для отрезка $EN$, проведенного к стороне $DF$, выполняются равенства $DN = NF$ (медиана) и $ \angle DEN = \angle FEN $ (биссектриса), то следует равенство сторон $DE = EF$.

• Если для отрезка $FK$, проведенного к стороне $DE$, выполняются равенства $DK = KE$ (медиана) и $ \angle DFK = \angle EFK $ (биссектриса), то следует равенство сторон $DF = EF$.

Ответ: Равенства, участвующие в признаке: (если $EM = MF$ и $ \angle EDM = \angle FDM $, то $DE = DF$); (если $DN = NF$ и $ \angle DEN = \angle FEN $, то $DE = EF$); (если $DK = KE$ и $ \angle DFK = \angle EFK $, то $DF = EF$).