Номер 10.5, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. Сколько всего равнобедренных треугольников изображено на каждом из рисунков 10.9? Назовите равные отрезки на каждом из этих рисунков.

Рис. 10.9

а) На рисунке изображены два треугольника, $△AOB$ и $△A_1OB_1$, которые пересекаются в точке $O$. В треугольнике $△AOB$ отмечен угол $∠OBA$, а в треугольнике $△A_1OB_1$ отмечен угол $∠OB_1A_1$. В таких задачах, если отмечен один угол при основании, часто подразумевается, что треугольник равнобедренный, и второй угол при основании ему равен.

Исходя из этого, в треугольнике $△AOB$ углы при основании $AB$ равны ($∠OAB = ∠OBA$). Следовательно, треугольник $△AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $OA = OB$.

Аналогично, в треугольнике $△A_1OB_1$ углы при основании $A_1B_1$ равны ($∠OA_1B_1 = ∠OB_1A_1$). Следовательно, треугольник $△A_1OB_1$ также является равнобедренным, и $OA_1 = OB_1$.

Таким образом, на рисунке изображено 2 равнобедренных треугольника.

Ответ: 2 равнобедренных треугольника ($△AOB$ и $△A_1OB_1$). Равные отрезки: $OA = OB$ и $OA_1 = OB_1$.

б) На рисунке изображены треугольники $△EFG$ и $△HFG$.

Рассмотрим треугольник $△HFG$. В нем отмечены равные углы $∠HFG$ и $∠HGF$ (обозначены двумя дугами). По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $△HFG$ — равнобедренный, и $HF = HG$.

Также на рисунке отмечены равные углы $∠EFH$ и $∠EGH$ (обозначены одной дугой).

Рассмотрим углы большого треугольника $△EFG$. Угол при вершине F равен $∠EFG = ∠EFH + ∠HFG$. Угол при вершине G равен $∠EGF = ∠EGH + ∠HGF$. Поскольку по условию $∠EFH = ∠EGH$ и $∠HFG = ∠HGF$, то и суммы этих углов равны: $∠EFG = ∠EGF$. Следовательно, треугольник $△EFG$ также является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны: $EF = EG$.

Всего на рисунке 2 равнобедренных треугольника.

Ответ: 2 равнобедренных треугольника ($△HFG$ и $△EFG$). Равные отрезки: $HF = HG$ и $EF = EG$.

в) На рисунке изображен четырехугольник $LMNK$, диагонали которого пересекаются в точке $P$.

Рассмотрим треугольник $△LPM$. В нем углы $∠PLM$ и $∠PML$ отмечены как равные (одной дугой). Следовательно, $△LPM$ является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив этих углов, равны: $PL = PM$.

Рассмотрим треугольник $△KPN$. В нем углы $∠PKN$ и $∠PNK$ отмечены как равные (двумя дугами). Следовательно, $△KPN$ также является равнобедренным, и стороны напротив равных углов равны: $PK = PN$.

Других равнобедренных треугольников на рисунке нет. Всего на рисунке 2 равнобедренных треугольника.

Ответ: 2 равнобедренных треугольника ($△LPM$ и $△KPN$). Равные отрезки: $PL = PM$ и $PK = PN$.

г) На рисунке изображен четырехугольник $QRST$, у которого все углы ($∠Q, ∠R, ∠S, ∠T$) отмечены как прямые. Это означает, что $QRST$ является прямоугольником.

Диагонали прямоугольника, $QS$ и $RT$, равны и в точке пересечения $E$ делятся пополам. Отсюда следует, что все четыре отрезка, соединяющие центр с вершинами, равны между собой: $QE = RE = SE = TE$.

Это равенство означает, что четыре треугольника, образованные диагоналями, являются равнобедренными:

• $△QER$ является равнобедренным, так как $QE = RE$.
• $△RES$ является равнобедренным, так как $RE = SE$.
• $△SET$ является равнобедренным, так как $SE = TE$.
• $△TEQ$ является равнобедренным, так как $TE = QE$.

Большие треугольники, такие как $△QRS$, являются прямоугольными, но не обязательно равнобедренными (это было бы так, если бы прямоугольник был квадратом, но это не гарантировано условием).

Всего на рисунке 4 равнобедренных треугольника.

Ответ: 4 равнобедренных треугольника ($△QER, △RES, △SET, △TEQ$). Равные отрезки: $QE = RE = SE = TE$.