Номер 10.3, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.3. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок $\text{AB}$, а вершина $\text{C}$ находится в одном из узлов сетки (рис. 10.7).

Рис. 10.7

а) Для того чтобы треугольник ABC был равнобедренным с основанием AB, необходимо и достаточно, чтобы длины его боковых сторон AC и BC были равны: $AC = BC$. Все точки C, удовлетворяющие этому условию, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Введем систему координат, в которой одна клетка сетки соответствует единице длины. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты (0, 0). Тогда точка A имеет координаты (1, 3), а точка B — (4, 1).

Найдем координаты середины M отрезка AB:

$M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{1+4}{2}, \frac{3+1}{2}) = (2.5, 2)$

Координаты середины отрезка не являются целыми числами, значит, точка M не является узлом сетки.

Найдем угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой AB:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 3}{4 - 1} = -\frac{2}{3}$

Серединный перпендикуляр проходит через точку M и имеет угловой коэффициент $k_{\perp}$, связанный с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$

Уравнение серединного перпендикуляра имеет вид $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$:

$y - 2 = \frac{3}{2}(x - 2.5)$

$y = 1.5x - 3.75 + 2$

$y = 1.5x - 1.75$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4y = 6x - 7$

$6x - 4y = 7$

Нам нужно найти целочисленные решения (x, y) этого уравнения, которые соответствуют узлам сетки. Левая часть уравнения, $6x - 4y = 2(3x - 2y)$, всегда является четным числом для любых целых x и y. Правая часть уравнения равна 7 — это нечетное число. Так как четное число не может равняться нечетному, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Следовательно, на серединном перпендикуляре к отрезку AB нет ни одного узла сетки.

Ответ: Невозможно изобразить такой треугольник, так как ни один узел сетки не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, а значит, невозможно найти точку C в узле сетки, равноудаленную от точек A и B.

б) Аналогично пункту а), найдем вершину C для отрезка AB на втором рисунке. Введем систему координат с началом в левом нижнем узле сетки (0, 0). Координаты точек будут: A(1, 3) и B(5, 1).

Найдем середину M отрезка AB:

$M = (\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}) = (3, 2)$

В данном случае середина отрезка AB совпадает с узлом сетки. Это означает, что точка C с координатами (3, 2) равноудалена от A и B. Проверим:

$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(3-5)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

Таким образом, точка C(3, 2) может быть вершиной равнобедренного треугольника ABC. Это один из возможных вариантов.

Найдем другие возможные точки. Угловой коэффициент прямой AB:

$k_{AB} = \frac{1 - 3}{5 - 1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Угловой коэффициент серединного перпендикуляра: $k_{\perp} = -\frac{1}{-1/2} = 2$.

Уравнение серединного перпендикуляра, проходящего через точку M(3, 2):

$y - 2 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6 + 2 \implies y = 2x - 4$

Любой узел сетки, координаты которого удовлетворяют этому уравнению, может быть вершиной C. Найдем несколько таких точек:

• Если $x=2$, то $y = 2(2) - 4 = 0$. Точка C(2, 0).
• Если $x=3$, то $y = 2(3) - 4 = 2$. Точка C(3, 2).
• Если $x=4$, то $y = 2(4) - 4 = 4$. Точка C(4, 4).

Все эти точки находятся в узлах сетки и подходят для вершины C. Выберем любую из них, например, C(4, 4). Построим треугольник, соединив точки A(1, 3), B(5, 1) и C(4, 4).

Проверим равенство сторон AC и BC для C(4, 4):

$AC^2 = (4-1)^2 + (4-3)^2 = 3^2 + 1^2 = 10$

$BC^2 = (4-5)^2 + (4-1)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 10$

Стороны равны, следовательно, треугольник ABC — равнобедренный.

Ответ: Один из возможных вариантов — точка C с координатами (4, 4). Чтобы изобразить треугольник, нужно соединить точки A, B и узел сетки с координатами (4, 4) отрезками. Другие возможные варианты для вершины C: (2, 0) и (3, 2).