Номер 10.8, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.8. На рисунке 10.12 $AB = BC$, $CD = DE$. Докажите, что $\angle A = \angle E$.

Рис. 10.12

Для доказательства равенства углов $A$ и $E$ рассмотрим поочередно треугольники $ABC$ и $CDE$.

1. Анализ треугольника $ABC$

Согласно условию задачи, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Из рисунка видно, что угол при вершине $B$ (угол $∠ABC$) — прямой, то есть его величина равна $90°$. Таким образом, $△ABC$ — это прямоугольный равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием в $△ABC$ является сторона $AC$. Углы при основании — это $∠BAC$ (угол $A$) и $∠BCA$. Следовательно, $∠A = ∠BCA$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $∠A + ∠ABC + ∠BCA = 180°$.

Подставим в это равенство известные нам значения: $∠ABC = 90°$ и $∠BCA = ∠A$. $∠A + 90° + ∠A = 180°$ $2 \cdot ∠A = 180° - 90°$ $2 \cdot ∠A = 90°$ $∠A = \frac{90°}{2} = 45°$

2. Анализ треугольника $CDE$

Согласно условию задачи, $CD = DE$. Это означает, что треугольник $CDE$ также является равнобедренным. Из рисунка видно, что угол при вершине $D$ (угол $∠CDE$) — прямой, то есть его величина равна $90°$. Таким образом, $△CDE$ — это прямоугольный равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике $CDE$ углы при основании $CE$ равны. Углы при основании — это $∠DCE$ и $∠DEC$ (угол $E$). Следовательно, $∠E = ∠DCE$.

Сумма углов в треугольнике $CDE$ составляет $180°$: $∠E + ∠CDE + ∠DCE = 180°$.

Подставим в это равенство известные нам значения: $∠CDE = 90°$ и $∠DCE = ∠E$. $∠E + 90° + ∠E = 180°$ $2 \cdot ∠E = 180° - 90°$ $2 \cdot ∠E = 90°$ $∠E = \frac{90°}{2} = 45°$

3. Заключение

В результате вычислений мы получили, что $∠A = 45°$ и $∠E = 45°$. Поскольку величины обоих углов равны, мы можем заключить, что $∠A = ∠E$.

Ответ: Утверждение доказано. Угол $A$ равен углу $E$, так как оба они являются углами при основании в равнобедренных прямоугольных треугольниках и равны $45°$.