Номер 10.15, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.15. На рисунке 10.17 $AD = AE$, угол $CAD$ равен углу $BAE$. Докажите, что $BD = CE$.

Рис. 10.17

Рассмотрим треугольник $ADE$. По условию задачи $AD = AE$, следовательно, $\triangle ADE$ является равнобедренным. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что углы при его основании равны: $\angle ADE = \angle AED$.

По условию также дано, что $\angle CAD = \angle BAE$. Угол $\angle CAD$ можно представить как сумму углов $\angle BAD$ и $\angle BAC$. Аналогично, угол $\angle BAE$ можно представить как сумму углов $\angle CAE$ и $\angle BAC$.

Из равенства $\angle CAD = \angle BAE$ следует, что $\angle BAD + \angle BAC = \angle CAE + \angle BAC$. Вычитая из обеих частей равенства общий угол $\angle BAC$, мы получаем, что $\angle BAD = \angle CAE$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. Для этих треугольников выполняются следующие условия: $AD = AE$ (по условию), $\angle ADB = \angle AEC$ (поскольку это углы $\angle ADE$ и $\angle AED$ при основании равнобедренного треугольника $ADE$), и $\angle BAD = \angle CAE$ (как было показано выше).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$ равны по стороне и двум углам (признак AAS, Angle-Angle-Side, или УУС, угол-угол-сторона).

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle ACE$) следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, сторона $BD$ равна стороне $CE$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $BD = CE$.