Номер 10.22, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.22. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB$ и $BC$ и основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, $AB = BC$.

Проведем медианы $AM$ и $CN$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. По определению, медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ — серединой стороны $AB$.

Так как $M$ и $N$ — середины сторон, то длины отрезков $BM$ и $BN$ равны половинам длин соответствующих сторон: $BM = \frac{1}{2}BC$ и $BN = \frac{1}{2}AB$.

Поскольку по условию задачи стороны $AB$ и $BC$ равны, то равны и их половины. Отсюда следует, что $BN = BM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$. У этих треугольников: 1. Сторона $AB$ равна стороне $CB$ по условию, так как треугольник $ABC$ равнобедренный. 2. Сторона $BM$ равна стороне $BN$, как было показано выше. 3. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников, эти треугольники равны: $\triangle ABM \cong \triangle CBN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Медианы $AM$ и $CN$ являются третьими сторонами в этих равных треугольниках. Следовательно, их длины также равны: $AM = CN$.

Таким образом, доказано, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Ответ: Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.