Номер 10.23, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.23. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

10.23. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а $AC$ является основанием. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Проведем биссектрисы $AM$ и $CN$ из вершин при основании $A$ и $C$ к боковым сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. Это означает, что $AM$ делит угол $\angle BAC$ пополам ($\angle MAC = \frac{1}{2}\angle BAC$), а $CN$ делит угол $\angle BCA$ пополам ($\angle NCA = \frac{1}{2}\angle BCA$). Требуется доказать, что длины этих биссектрис равны, то есть $AM = CN$.

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle ACN$ и $\triangle CAM$.

1. Сторона $AC$ является общей для этих треугольников.

2. Угол $\angle NAC$ (который является углом $\angle BAC$) равен углу $\angle MCA$ (который является углом $\angle BCA$), так как это углы при основании равнобедренного треугольника.

3. Так как $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то $\angle MAC = \frac{1}{2}\angle BAC$. Так как $CN$ — биссектриса угла $\angle BCA$, то $\angle NCA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то и их половины равны: $\angle MAC = \angle NCA$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ACN$ и $\triangle CAM$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:

• $\angle NAC = \angle MCA$ (углы при основании)
• $AC$ — общая сторона
• $\angle NCA = \angle MAC$ (половины равных углов)

Из равенства треугольников ($\triangle ACN \cong \triangle CAM$) следует равенство их соответствующих сторон. В треугольнике $\triangle ACN$ сторона $CN$ лежит напротив угла $\angle NAC$. В треугольнике $\triangle CAM$ сторона $AM$ лежит напротив угла $\angle MCA$. Поскольку углы $\angle NAC$ и $\angle MCA$ равны, то и противолежащие им стороны $CN$ и $AM$ также равны.

Значит, $AM = CN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.