Номер 11.1, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.1. На рисунках 11.3 отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

Рис. 11.3

а) Рассмотрим треугольники $ADC$ и $BDC$. Согласно отметкам на рисунке, сторона $AC$ равна стороне $BC$ (отмечены двумя штрихами), а сторона $AD$ равна стороне $BD$ (отмечены одним штрихом). Сторона $CD$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, три стороны одного треугольника ($\triangle ADC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle BDC$). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ADC = \triangle BDC$.

Ответ: $\triangle ADC = \triangle BDC$.

б) Рассмотрим треугольники $EFG$ и $EHG$. На рисунке отмечено, что сторона $EF$ равна стороне $EH$ (двумя штрихами), а сторона $FG$ равна стороне $HG$ (одним штрихом). Сторона $EG$ является общей для этих треугольников. Поскольку три стороны треугольника $EFG$ соответственно равны трем сторонам треугольника $EHG$, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Ответ: $\triangle EFG = \triangle EHG$.

в) Рассмотрим треугольники $KLN$ и $MNL$. Из отметок на рисунке следует, что сторона $KL$ равна стороне $MN$ (двумя штрихами), а сторона $KN$ равна стороне $ML$ (одним штрихом). Сторона $LN$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, треугольники $KLN$ и $MNL$ равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: $\triangle KLN = \triangle MNL$.

г) На данном рисунке можно найти три пары равных треугольников:

1. Треугольники $PRS$ и $QRS$. У них $PR = QR$ (один штрих), $PS = QS$ (два штриха), а сторона $RS$ — общая. Следовательно, $\triangle PRS = \triangle QRS$ по трем сторонам.

2. Треугольники $PRO$ и $QRO$. У них $PR = QR$ (один штрих), $PO = QO$ (три штриха), а сторона $RO$ — общая. Следовательно, $\triangle PRO = \triangle QRO$ по трем сторонам.

3. Треугольники $PSO$ и $QSO$. У них $PS = QS$ (два штриха), $PO = QO$ (три штриха), а сторона $SO$ — общая. Следовательно, $\triangle PSO = \triangle QSO$ по трем сторонам.

Ответ: $\triangle PRS = \triangle QRS$, $\triangle PRO = \triangle QRO$, $\triangle PSO = \triangle QSO$.

д) На данном рисунке можно найти следующие пары равных треугольников:

1. Треугольники $ADO$ и $BCO$. По условию $AD = BC$ (один штрих), $AO = BO$ (три штриха), $DO = CO$ (два штриха). Следовательно, $\triangle ADO = \triangle BCO$ по трем сторонам.

2. Треугольники $ABD$ и $BAC$. У них $AD = BC$ (по условию), сторона $AB$ — общая. Сравним диагонали $BD$ и $AC$. $BD = BO + OD$, а $AC = AO + OC$. Так как $AO=BO$ и $OD=OC$, то $BD=AC$. Следовательно, $\triangle ABD = \triangle BAC$ по трем сторонам.

3. Треугольники $ADC$ и $BDC$. У них $AD = BC$ (по условию), сторона $DC$ — общая, и $AC = BD$ (как показано выше). Следовательно, $\triangle ADC = \triangle BDC$ по трем сторонам.

Ответ: $\triangle ADO = \triangle BCO$, $\triangle ABD = \triangle BAC$, $\triangle ADC = \triangle BDC$.

е) На данном рисунке можно найти две пары равных треугольников:

1. Треугольники $KSL$ и $NSM$. Сравним их стороны: $SK = SN$ (отмечено двумя штрихами), $SL = SM$ (отмечено тремя штрихами), $KL = NM$ (отмечено одним штрихом). Так как все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, $\triangle KSL = \triangle NSM$ по третьему признаку.

2. Треугольники $KSM$ и $NSL$. Сравним их стороны: $SK = SN$ и $SM = SL$ по условию. Найдем длины третьих сторон: $KM = KL + LM$ и $NL = NM + LM$. Так как $KL = NM$, то $KM = NL$. Таким образом, треугольники $KSM$ и $NSL$ равны по трем сторонам.

Ответ: $\triangle KSL = \triangle NSM$, $\triangle KSM = \triangle NSL$.

ж) На рисунке изображен квадрат, в котором диагонали делят его на несколько треугольников.

1. Треугольники $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$. Все эти четыре треугольника равны между собой. Например, сравним $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$: $AB = BC$ (стороны квадрата), $AO=CO$ (половины диагоналей), $BO$ — общая. Значит, $\triangle AOB = \triangle BOC$ по трем сторонам. Аналогично доказывается равенство всех четырех треугольников.

2. Треугольники, получающиеся при делении квадрата диагональю, например, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У них $AB = AD$, $BC = CD$ (стороны квадрата), а $AC$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ по трем сторонам. Аналогично, $\triangle ABD = \triangle CBD$. Все четыре "больших" треугольника ($\triangle ABC, \triangle ADC, \triangle ABD, \triangle CBD$) также равны между собой.

Ответ: $\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA$; $\triangle ABC = \triangle ADC$; $\triangle ABD = \triangle CBD$.