Номер 11.3, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.3. На рисунке $11.5$ $AB = DC$ и $BC = AD$, угол $BAC$ равен $31^{\circ}$, угол $BCA$ равен $29^{\circ}$. Найдите угол $ACD$.

Рис. 11.5

11.3. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи стороны равны следующим образом: $AB = DC$ и $BC = AD$. Это является признаком параллелограмма (если в выпуклом четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм). Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle ACD$.

По условию $\angle BAC = 31^\circ$.

Значит, $\angle ACD = 31^\circ$.

Аналогично, для параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$ накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны. Так как $\angle BCA = 29^\circ$, то $\angle CAD = 29^\circ$.

Другой способ решения:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

1. $AB = DC$ (по условию)

2. $BC = AD$ (по условию)

3. $AC$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов. Угол $\angle ACD$ в треугольнике $\triangle CDA$ лежит напротив стороны $AD$. В равном ему треугольнике $\triangle ABC$ напротив равной стороны $BC$ ($BC=AD$) лежит угол $\angle BAC$.

Таким образом, $\angle ACD = \angle BAC$.

По условию $\angle BAC = 31^\circ$, следовательно, $\angle ACD = 31^\circ$.

Ответ: $31^\circ$.