Номер 11.2, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.2. На рисунке 11.4 $AB = DC$ и $BC = AD$. Докажите, что угол $\text{B}$ равен углу $\text{D}$.

Рис. 11.4

Для доказательства равенства углов $B$ и $D$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Эти треугольники образуются в четырехугольнике $ABCD$ при проведении диагонали $AC$.

Сравним эти два треугольника по их сторонам:

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DC$ треугольника $\triangle CDA$ ($AB = DC$ по условию задачи).

2. Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $AD$ треугольника $\triangle CDA$ ($BC = AD$ по условию задачи).

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle CDA$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Запишем это как $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует, что их соответственные углы также равны. В треугольнике $\triangle ABC$ угол $B$ ($\angle ABC$) лежит напротив стороны $AC$. В равном ему треугольнике $\triangle CDA$ соответственным углом является угол $D$ ($\angle CDA$), который лежит напротив стороны $CA$.

Следовательно, из равенства треугольников $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ вытекает равенство соответственных углов: $\angle B = \angle D$.

Ответ: что и требовалось доказать.