Номер 11.9, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.9. На рисунке 11.11 $AB = BC$, $AD = CD$. Докажите, что $AO = OC$.

Рис. 11.11

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. По условию задачи нам дано, что $AB = BC$ и $AD = CD$. Сторона $BD$ является общей для этих двух треугольников. Таким образом, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), мы можем заключить, что $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle ABD = \angle CBD$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $BD$, это означает, что $\angle ABO = \angle CBO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. Нам известно, что $AB = BC$ (по условию). Мы только что доказали, что $\angle ABO = \angle CBO$. Сторона $BO$ является общей для этих треугольников. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB = \triangle COB$.

Так как треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$ равны, их соответствующие стороны также должны быть равны. Сторона $AO$ в $\triangle AOB$ соответствует стороне $OC$ в $\triangle COB$. Таким образом, мы доказали, что $AO = OC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AO = OC$ доказано.