Номер 11.15, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.15. На местности потребовалось разделить угол пополам (угол $\angle ABC$ на рис. 11.17). Для этого на его сторонах от вершины с помощью рулетки отложили равные отрезки $\text{BA}$ и $\text{BC}$. Затем взяли ленту с обозначенной серединой (точкой $\text{O}$) и закрепили ее концы в точках $\text{A}$ и $\text{C}$. Натянув ленту за середину, отметили положение точки $\text{O}$ на местности, тогда луч $\text{BO}$ делит угол $\angle ABC$ пополам. Обоснуйте правильность построения.

Рис. 11.17

Для того чтобы обосновать правильность данного построения, необходимо доказать, что луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$, то есть делит его на два равных угла: $∠ABO = ∠CBO$.

Рассмотрим треугольники $ΔABO$ и $ΔCBO$.

1. По условию, на сторонах угла от вершины $B$ были отложены равные отрезки. Следовательно, $BA = BC$.

2. Взяли ленту с обозначенной серединой (точкой $O$) и закрепили ее концы в точках $A$ и $C$. Когда ленту натягивают за середину $O$, точка $O$ оказывается равноудаленной от точек $A$ и $C$. Это означает, что длины отрезков $AO$ и $CO$ равны. Следовательно, $AO = CO$.

3. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников $ΔABO$ и $ΔCBO$.

Таким образом, треугольники $ΔABO$ и $ΔCBO$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), так как у них соответственно равны три стороны ($BA = BC$, $AO = CO$, $BO$ — общая).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $∠ABO$ в треугольнике $ΔABO$ лежит напротив стороны $AO$. Угол $∠CBO$ в треугольнике $ΔCBO$ лежит напротив стороны $CO$. Так как стороны $AO$ и $CO$ равны, то и противолежащие им углы $∠ABO$ и $∠CBO$ также равны.

Поскольку $∠ABO = ∠CBO$, луч $BO$ делит угол $ABC$ пополам, то есть является его биссектрисой. Следовательно, данное построение является правильным.

Ответ: Правильность построения основывается на признаке равенства треугольников по трём сторонам. Треугольники $ΔABO$ и $ΔCBO$ равны, так как $BA=BC$ (по построению), $AO=CO$ (так как $O$ — середина ленты, соединяющей $A$ и $C$), а $BO$ — общая сторона. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $∠ABO = ∠CBO$, что и доказывает, что луч $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.