Номер 11.12, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.12. Точки $A, B, C, D$ принадлежат одной прямой. Докажите, что если треугольники $ABE_1$ и $ABE_2$ равны (рис. 11.14), то треугольники $CDE_1$ и $CDE_2$ тоже равны.

Рис. 11.14

По условию задачи дано, что точки $A, B, C, D$ лежат на одной прямой и треугольники $ABE_1$ и $ABE_2$ равны ($\triangle ABE_1 = \triangle ABE_2$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AE_1 = AE_2$ и $BE_1 = BE_2$.

Рассмотрим отрезок $E_1E_2$. Точка $A$ равноудалена от его концов ($AE_1 = AE_2$), следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $E_1E_2$. Аналогично, точка $B$ равноудалена от концов $E_1$ и $E_2$ ($BE_1 = BE_2$), и, следовательно, также лежит на серединном перпендикуляре к $E_1E_2$.

Так как через две различные точки $A$ и $B$ проходит единственная прямая, то прямая, проходящая через $A$ и $B$, является серединным перпендикуляром к отрезку $E_1E_2$. Поскольку по условию точки $C$ и $D$ принадлежат той же прямой, они также лежат на этом серединном перпендикуляре.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Отсюда следует, что $CE_1 = CE_2$ и $DE_1 = DE_2$.

Теперь рассмотрим треугольники $CDE_1$ и $CDE_2$. Сравним их стороны:

- $CE_1 = CE_2$ (доказано выше).

- $DE_1 = DE_2$ (доказано выше).

- $CD$ — общая сторона.

Поскольку три стороны треугольника $CDE_1$ соответственно равны трем сторонам треугольника $CDE_2$, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Таким образом, $\triangle CDE_1 = \triangle CDE_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Из условия $\triangle ABE_1 = \triangle ABE_2$ следует, что прямая, содержащая точки $A, B, C, D$, является серединным перпендикуляром к отрезку $E_1E_2$. Поэтому точки $C$ и $D$, лежащие на этой прямой, равноудалены от точек $E_1$ и $E_2$, то есть $CE_1 = CE_2$ и $DE_1 = DE_2$. Треугольники $CDE_1$ и $CDE_2$ имеют общую сторону $CD$ и две другие пары равных сторон ($CE_1 = CE_2$, $DE_1 = DE_2$). Следовательно, $\triangle CDE_1 = \triangle CDE_2$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).