Номер 11.11, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.11. На рисунке 11.13 $AD = CF, AB = FE, BC = ED$. Докажите, что угол 1 равен углу 2.

Рис. 11.13

Для доказательства равенства $\angle 1 = \angle 2$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FED$.

По условию задачи даны равенства сторон $AB = FE$, $BC = ED$ и $AD = CF$. Точки $A, D, C, F$ лежат на одной прямой, как показано на рисунке.

Сравним длины сторон $AC$ и $DF$. Сторона $AC$ состоит из отрезков $AD$ и $DC$, поэтому её длина равна $AC = AD + DC$. Сторона $DF$ состоит из отрезков $DC$ и $CF$, поэтому её длина равна $DF = DC + CF$. Поскольку по условию $AD = CF$, мы можем заключить, что $AC = DF$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FED$. Мы установили, что их стороны попарно равны: $AB = FE$ (по условию), $BC = ED$ (по условию), $AC = DF$ (доказано выше). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle FED$.

В равных треугольниках соответственные углы равны. Угол $\angle BCA$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$. Соответствующий ему угол в $\triangle FED$ — это $\angle EDF$, который лежит напротив равной стороны $FE$. Таким образом, $\angle BCA = \angle EDF$.

На рисунке угол $\angle 1$ обозначен как $\angle ADE$, а угол $\angle 2$ — как $\angle BCF$. Так как точки $A, D, C, F$ лежат на одной прямой, углы $\angle ADE$ и $\angle EDF$ являются смежными, а также углы $\angle BCF$ и $\angle BCA$ являются смежными. Для смежных углов справедливо: $\angle ADE + \angle EDF = 180^\circ \implies \angle ADE = 180^\circ - \angle EDF$ $\angle BCF + \angle BCA = 180^\circ \implies \angle BCF = 180^\circ - \angle BCA$

Ранее мы доказали, что $\angle BCA = \angle EDF$. Если мы подставим это в выражение для $\angle BCF$, получим: $\angle BCF = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - \angle EDF$. Сравнивая это с выражением для $\angle ADE$, мы видим, что: $\angle ADE = \angle BCF$. А так как $\angle 1 = \angle ADE$ и $\angle 2 = \angle BCF$, то отсюда следует, что $\angle 1 = \angle 2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов доказано. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle FED$ равны по трём сторонам. Из этого следует равенство их внутренних углов $\angle BCA = \angle EDF$. Углы $\angle 1$ ($\angle ADE$) и $\angle 2$ ($\angle BCF$) являются смежными к этим равным углам, а значит, они также равны между собой.