Номер 11.14, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.14. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если у них равны стороны $\text{AB}$ и $A_1B_1$, $\text{AC}$ и $A_1C_1$, медианы $\text{CM}$ и $C_1M_1$ (рис. 11.16).

Рис. 11.16

Дано: треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Известно, что:

1) $AB = A_1B_1$

2) $AC = A_1C_1$

3) $CM$ и $C_1M_1$ — медианы, проведенные к сторонам $AB$ и $A_1B_1$ соответственно, и $CM = C_1M_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим вспомогательные треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle A_1M_1C_1$.

2. По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Так как $CM$ — медиана $\triangle ABC$, то точка $M$ является серединой стороны $AB$, следовательно, $AM = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, так как $C_1M_1$ — медиана $\triangle A_1B_1C_1$, то $M_1$ является серединой $A_1B_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1$.

3. По условию задачи $AB = A_1B_1$. Из этого следует, что и половины этих сторон равны: $AM = A_1M_1$.

4. Теперь мы можем сравнить стороны треугольников $AMC$ и $A_1M_1C_1$. У них:

- $AC = A_1C_1$ (по условию).

- $CM = C_1M_1$ (по условию).

- $AM = A_1M_1$ (как показано в п. 3).

5. Таким образом, $\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$, или, что то же самое, $\angle A = \angle A_1$.

7. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Сравним их по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

- $AB = A_1B_1$ (по условию).

- $AC = A_1C_1$ (по условию).

- $\angle A = \angle A_1$ (как доказано в п. 6).

8. Все условия первого признака выполняются, следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано. Доказательство основано на том, что сначала доказывается равенство треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle A_1M_1C_1$ по трем сторонам (SSS). Из этого следует равенство углов $\angle A = \angle A_1$. Затем, используя первый признак равенства треугольников (SAS) и имея равные стороны $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$ и равный угол между ними $\angle A = \angle A_1$, устанавливается, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.