Номер 11.20, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.20. На рисунке 11.20 $AD = BC$ и $AC = BD$. Докажите, что углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равны.

Рис. 11.20

Чтобы доказать, что углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равны, рассмотрим два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие равенства сторон:

1. $AD = BC$ (по условию).

2. $AC = BD$ (по условию).

Кроме того, сторона $CD$ является общей для обоих треугольников ($\triangle ADC$ и $\triangle BCD$).

Таким образом, мы имеем три пары равных сторон у рассматриваемых треугольников:

- $AD = BC$

- $AC = BD$

- $CD$ — общая сторона.

Следовательно, треугольник $\triangle ADC$ равен треугольнику $\triangle BCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы (углы и стороны) равны. В данном случае, угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $\angle BCD$ в треугольнике $\triangle BCD$ лежит напротив стороны $BD$. Так как $\triangle ADC = \triangle BCD$ и стороны $AC$ и $BD$ равны, то и противолежащие им углы должны быть равны.

Значит, $\angle ADC = \angle BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle ADC$ и $\angle BCD$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$. Эти треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам), так как $AD=BC$ и $AC=BD$ по условию, а сторона $CD$ является общей. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, следовательно, $\angle ADC = \angle BCD$.