Номер 11.25, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.25. На рисунке 11.21 угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CDB$ и $AC \perp BD$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 11.21

Обозначим точку пересечения отрезков $AC$ и $BD$ буквой $O$. Рассмотрим два треугольника, образованных этим пересечением: $ \triangle AOD $ и $ \triangle COD $.

Согласно условиям задачи, нам дано:

1. Угол $ \angle ADB $ равен углу $ \angle CDB $. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $BD$, это означает, что $ \angle ADO = \angle CDO $.

2. Отрезок $AC$ перпендикулярен отрезку $BD$ ($ AC \perp BD $). Из этого следует, что углы, образованные при их пересечении, являются прямыми, то есть $ \angle AOD = \angle COD = 90^\circ $.

Также заметим, что сторона $OD$ является общей для обоих треугольников $ \triangle AOD $ и $ \triangle COD $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle COD $. У них есть:

• $ \angle ADO = \angle CDO $ (по условию)
• $ OD $ — общая сторона
• $ \angle AOD = \angle COD = 90^\circ $ (из условия перпендикулярности)

Таким образом, треугольник $ \triangle AOD $ равен треугольнику $ \triangle COD $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $AD$ в треугольнике $ \triangle AOD $ соответствует стороне $CD$ в треугольнике $ \triangle COD $.

Следовательно, $ AD = CD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $ AD = CD $ доказано.