Номер 12.1, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.1. Может ли внешний угол треугольника быть больше:

а) одного внутреннего угла;

б) двух внутренних углов;

в) трех внутренних углов этого треугольника?

Приведите примеры.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов треугольника. Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Внешний угол треугольника при некоторой вершине — это угол, смежный с внутренним углом при этой вершине. По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, внешний угол при вершине с углом $\gamma$ равен $\alpha + \beta$.

а) Может ли внешний угол треугольника быть больше одного внутреннего угла?

Да, может. Более того, внешний угол треугольника всегда больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть внешний угол равен $\alpha + \beta$. Так как углы треугольника всегда положительны ($\alpha > 0$ и $\beta > 0$), то очевидно, что $\alpha + \beta > \alpha$ и $\alpha + \beta > \beta$.

Внешний угол может быть больше и смежного с ним внутреннего угла. Это будет выполняться, если смежный внутренний угол — острый (меньше $90^\circ$).

Пример: Рассмотрим равносторонний треугольник, все внутренние углы которого равны $60^\circ$. Внешний угол при любой вершине равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Величина этого внешнего угла ($120^\circ$) больше величины любого внутреннего угла ($60^\circ$).

Ответ: Да, может.

б) Может ли внешний угол треугольника быть больше двух внутренних углов?

Будем считать, что вопрос подразумевает, может ли внешний угол быть больше суммы двух внутренних углов. Да, может.

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha, \beta, \gamma$. Рассмотрим внешний угол при вершине с углом $\gamma$. Его величина равна $\alpha + \beta$. Существует три возможные суммы пар внутренних углов: $\alpha + \beta$, $\alpha + \gamma$ и $\beta + \gamma$. Внешний угол $\alpha + \beta$ равен первой сумме, но не больше ее. Чтобы он был больше второй суммы, $\alpha + \gamma$, должно выполняться неравенство $\alpha + \beta > \alpha + \gamma$, что равносильно $\beta > \gamma$. Чтобы он был больше третьей суммы, $\beta + \gamma$, должно выполняться неравенство $\alpha + \beta > \beta + \gamma$, что равносильно $\alpha > \gamma$. Таким образом, нам нужен треугольник, в котором один из углов, не смежных с внешним, больше угла, смежного с ним.

Пример: Рассмотрим тупоугольный треугольник с углами $110^\circ, 50^\circ, 20^\circ$. Пусть $\alpha = 110^\circ, \beta = 50^\circ, \gamma = 20^\circ$. Внешний угол при вершине с углом $\gamma$ равен $\alpha + \beta = 110^\circ + 50^\circ = 160^\circ$. Рассмотрим сумму двух внутренних углов $\beta + \gamma$. Она равна $50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$. Сравниваем внешний угол с этой суммой: $160^\circ > 70^\circ$. Таким образом, внешний угол может быть больше суммы двух внутренних углов.

Ответ: Да, может.

в) Может ли внешний угол треугольника быть больше трех внутренних углов?

Будем считать, что вопрос подразумевает, может ли внешний угол быть больше суммы трех внутренних углов. Нет, не может.

Сумма трех внутренних углов любого треугольника ($\alpha + \beta + \gamma$) всегда равна $180^\circ$. Внешний угол при любой вершине равен $180^\circ$ минус смежный с ним внутренний угол. Например, внешний угол, смежный с $\gamma$, равен $180^\circ - \gamma$. Поскольку любой внутренний угол треугольника $\gamma$ строго больше нуля ($\gamma > 0$), то любой внешний угол $180^\circ - \gamma$ всегда будет строго меньше $180^\circ$.

Таким образом, внешний угол треугольника всегда меньше суммы трех его внутренних углов. Приводить пример невозможно, так как это утверждение неверно.

Ответ: Нет, не может.