Номер 12.3, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.3. Если один из внешних углов треугольника острый, то какими являются его остальные внешние углы?

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов. Обозначим внешние углы, смежные с углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, как $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$ соответственно.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому для каждой пары внутреннего и внешнего угла справедливо:

$\alpha + \alpha' = 180^\circ$

$\beta + \beta' = 180^\circ$

$\gamma + \gamma' = 180^\circ$

По условию, один из внешних углов является острым. Пусть это будет угол $\alpha'$. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Таким образом, $0^\circ < \alpha' < 90^\circ$.

Найдем, каким является внутренний угол $\alpha$, смежный с этим острым внешним углом. Он равен $\alpha = 180^\circ - \alpha'$. Так как $0^\circ < \alpha' < 90^\circ$, то для $\alpha$ справедливо неравенство:

$180^\circ - 90^\circ < \alpha < 180^\circ - 0^\circ$

$90^\circ < \alpha < 180^\circ$

Это означает, что внутренний угол $\alpha$ является тупым. Треугольник, у которого один из углов тупой, называется тупоугольным.

В треугольнике может быть только один тупой угол, так как сумма всех внутренних углов равна $180^\circ$ ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$). Если $\alpha > 90^\circ$, то сумма двух других углов $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$ будет меньше $90^\circ$. Поскольку углы $\beta$ и $\gamma$ положительны, то каждый из них должен быть острым, то есть $0^\circ < \beta < 90^\circ$ и $0^\circ < \gamma < 90^\circ$.

Теперь определим, какими являются два других внешних угла, $\beta'$ и $\gamma'$.

Внешний угол $\beta'$ равен $\beta' = 180^\circ - \beta$. Поскольку $\beta$ — острый угол ($0^\circ < \beta < 90^\circ$), то для $\beta'$ получаем:

$180^\circ - 90^\circ < \beta' < 180^\circ - 0^\circ$

$90^\circ < \beta' < 180^\circ$

Следовательно, внешний угол $\beta'$ является тупым.

Аналогично для внешнего угла $\gamma' = 180^\circ - \gamma$. Поскольку $\gamma$ — также острый угол ($0^\circ < \gamma < 90^\circ$), то для $\gamma'$ получаем:

$90^\circ < \gamma' < 180^\circ$

Следовательно, внешний угол $\gamma'$ также является тупым.

Таким образом, если один из внешних углов треугольника острый, то два других его внешних угла являются тупыми.

Ответ: Остальные внешние углы являются тупыми.