Номер 12.10, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.10. Докажите, что в треугольнике может быть только один:

а) прямой угол;

б) тупой угол.

а) прямой угол

Для доказательства воспользуемся фундаментальной теоремой геометрии о сумме углов треугольника. Она гласит, что сумма трех внутренних углов любого треугольника в евклидовом пространстве всегда равна $180^{\circ}$. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Тогда справедливо равенство: $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$. Важно также помнить, что любой угол в треугольнике имеет положительную градусную меру, то есть больше $0^{\circ}$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что в треугольнике существует более одного прямого угла, например, два. Прямой угол — это угол, равный $90^{\circ}$.

Пусть в треугольнике есть два прямых угла: $\alpha = 90^{\circ}$ и $\beta = 90^{\circ}$.

Найдем сумму этих двух углов: $\alpha + \beta = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Теперь, используя теорему о сумме углов, найдем величину третьего угла $\gamma$:

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ}$.

Мы получили, что третий угол равен $0^{\circ}$. Это невозможно, так как угол в треугольнике должен быть положительной величиной. Если бы угол был равен нулю, то все три вершины лежали бы на одной прямой, и такой фигуры, как треугольник, не существовало бы. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Таким образом, в треугольнике не может быть двух (и тем более трех) прямых углов. Значит, в треугольнике может быть только один прямой угол.

Ответ: Доказано, что в треугольнике не может быть более одного прямого угла.

б) тупой угол

Как и в предыдущем пункте, доказательство основывается на теореме о сумме углов треугольника ($\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$) и том, что каждый угол треугольника больше $0^{\circ}$.

Будем использовать метод доказательства от противного. Тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$. Предположим, что в треугольнике существует два тупых угла.

Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. По определению тупого угла:

$\alpha > 90^{\circ}$

$\beta > 90^{\circ}$

Сложим эти два неравенства, чтобы оценить сумму двух углов:

$\alpha + \beta > 90^{\circ} + 90^{\circ}$

$\alpha + \beta > 180^{\circ}$

Сумма всего лишь двух углов нашего гипотетического треугольника уже больше $180^{\circ}$. Однако, согласно теореме, сумма всех трех углов должна быть в точности равна $180^{\circ}$. Если мы добавим третий, положительный, угол $\gamma$ ($\gamma > 0^{\circ}$), то сумма $\alpha + \beta + \gamma$ будет заведомо больше $180^{\circ}$.

$\alpha + \beta + \gamma > 180^{\circ} + \gamma > 180^{\circ}$

Это напрямую противоречит теореме о сумме углов треугольника. Следовательно, наше исходное предположение о том, что в треугольнике может быть два тупых угла, является ложным.

Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, очевидно, что в нем не может быть и трех. Значит, в треугольнике может быть не более одного тупого угла.

Ответ: Доказано, что в треугольнике не может быть более одного тупого угла.