Номер 12.11, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.11. На рисунке 12.6 $AB > BC$. Докажите, что угол 1 больше угла 2.

Рис. 12.6

Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно свойству о соотношении сторон и углов в треугольнике, против большей стороны лежит больший угол.

По условию задачи, сторона $AB$ больше стороны $BC$, то есть $AB > BC$. В треугольнике $ABC$ против стороны $AB$ лежит угол $\angle BCA$, а против стороны $BC$ лежит угол $\angle BAC$. Из неравенства $AB > BC$ следует, что $\angle BCA > \angle BAC$.

Угол 1 является внешним углом треугольника при вершине $A$. Он смежен с внутренним углом $\angle BAC$, следовательно, их сумма равна $180^\circ$. Отсюда можно выразить угол 1: $\angle 1 = 180^\circ - \angle BAC$.

Аналогично, угол 2 является внешним углом при вершине $C$ и смежен с внутренним углом $\angle BCA$. Отсюда $\angle 2 = 180^\circ - \angle BCA$.

Ранее мы установили, что $\angle BCA > \angle BAC$. Сравним выражения для углов 1 и 2. При вычитании из одного и того же числа ($180^\circ$) большего значения ($\angle BCA$) получается меньший результат, чем при вычитании меньшего значения ($\angle BAC$). Таким образом, из $\angle BCA > \angle BAC$ следует, что $180^\circ - \angle BCA < 180^\circ - \angle BAC$.

Подставив в это неравенство выражения для углов 1 и 2, получаем $\angle 2 < \angle 1$, что эквивалентно $\angle 1 > \angle 2$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что угол 1 больше угла 2.