Номер 12.12, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.12. На рисунке 12.7 угол 1 равен углу 2, $AC > BD$. Докажите, что угол 3 меньше угла 4.

Рис. 12.7

Для решения данной задачи воспользуемся методом, основанным на свойствах треугольников, которые образуются при пересечении диагоналей четырехугольника. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. По условию задачи, угол 1 равен углу 2. В контексте треугольника $AOB$ это означает, что $∠OAB = ∠OBA$. Треугольник, у которого углы при основании равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный с основанием $AB$, и его боковые стороны равны:

$OA = OB$.

В условии задачи также дано, что сторона $AC$ больше стороны $BD$, то есть $AC > BD$. Мы можем представить длины этих сторон как суммы длин отрезков, на которые их делит точка пересечения $O$:

$AC = OA + OC$

$BD = OB + OD$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$OA + OC > OB + OD$

Поскольку мы уже установили, что $OA = OB$, мы можем вычесть эту равную величину из обеих частей неравенства, что не изменит его знака. В результате получаем:

$OC > OD$

Теперь рассмотрим треугольник $DOC$. В этом треугольнике нам известно соотношение сторон $OC$ и $OD$. Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника, против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике $DOC$ стороне $OC$ противолежит угол $∠ODC$, а стороне $OD$ противолежит угол $∠OCD$.

Так как $OC > OD$, из теоремы следует, что угол, лежащий против стороны $OC$, больше угла, лежащего против стороны $OD$:

$∠ODC > ∠OCD$

Обратимся к обозначениям углов на рисунке. Угол 3 — это угол $∠ADB$, что совпадает с $∠ODC$. Угол 4 — это угол $∠BCA$, что совпадает с $∠OCD$.

$∠3 = ∠ADB = ∠ODC$

$∠4 = ∠BCA = ∠OCD$

Подставляя эти обозначения в полученное нами неравенство, мы приходим к выводу:

$∠3 > ∠4$

Таким образом, мы доказали, что при заданных условиях угол 3 больше угла 4. Это прямо противоречит тому, что требовалось доказать в задаче ($∠3 < ∠4$). Это означает, что в условии задачи, скорее всего, содержится ошибка. Например, если бы условие было $AC < BD$, то, следуя той же логике, мы бы доказали, что $∠3 < ∠4$.

Ответ: На основе данных условий ($∠1 = ∠2$ и $AC > BD$) доказывается, что $∠3 > ∠4$. Требование доказать, что $∠3 < ∠4$, является невыполнимым, так как оно противоречит следствиям из условий задачи. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.