Номер 12.19, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.19. Отрезки $\text{AE}$ и $\text{BD}$ пересекаются в точке $\text{C}$, $CD = DE$, угол $\angle BAC$ меньше угла $\angle DEC$ (рис. 12.14). Докажите, что $AB > BC$.

Рис. 12.14

Рассмотрим треугольник $CDE$. По условию задачи отрезки $CD$ и $DE$ равны ($CD = DE$). Это означает, что треугольник $CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle DCE = \angle DEC$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AE$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCA = \angle DCE$.

Из двух предыдущих равенств ($\angle DCE = \angle DEC$ и $\angle BCA = \angle DCE$) следует, что $\angle BCA = \angle DEC$.

По условию задачи дано неравенство: $\angle BAC < \angle DEC$.

Так как мы доказали, что $\angle BCA = \angle DEC$, мы можем заменить $\angle DEC$ на $\angle BCA$ в данном неравенстве. В результате получаем: $\angle BAC < \angle BCA$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В нем стороне $BC$ противолежит угол $\angle BAC$, а стороне $AB$ противолежит угол $\angle BCA$.

Согласно теореме о соотношении сторон и углов треугольника (против большего угла в треугольнике лежит большая сторона), из неравенства $\angle BCA > \angle BAC$ следует, что сторона, лежащая против угла $\angle BCA$, больше стороны, лежащей против угла $\angle BAC$.

Таким образом, $AB > BC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.