Номер 12.20, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.20. В треугольнике $ABC$ выполняется неравенство $AC > BC$, $\text{CD}$ — медиана (рис. 12.15). Докажите, что угол $BCD$ больше угла $ACD$.

Рис. 12.15

Для доказательства выполним дополнительное построение. На луче CD за точкой D отложим отрезок DE, равный отрезку CD. Соединим точку E с точкой B.

Рассмотрим четырехугольник ACBE. Его диагонали AB и CE пересекаются в точке D. По условию задачи, CD — медиана треугольника ABC, следовательно, точка D является серединой стороны AB. Это означает, что $AD = DB$. По нашему построению, точка D также является серединой отрезка CE, так как $CD = DE$.

Поскольку диагонали четырехугольника ACBE в точке пересечения делятся пополам, данный четырехугольник является параллелограммом.

Одним из свойств параллелограмма является равенство противоположных сторон. Следовательно, сторона $BE$ четырехугольника ACBE равна стороне $AC$.

Теперь рассмотрим треугольник BCE. В нем нам известны стороны BC и BE. Из условия задачи мы знаем, что $AC > BC$. Так как мы доказали, что $BE = AC$, мы можем утверждать, что в треугольнике BCE сторона $BE > BC$.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике BCE напротив стороны BE лежит угол $\angle BCE$, а напротив стороны BC лежит угол $\angle BEC$. Из неравенства $BE > BC$ следует, что $\angle BCE > \angle BEC$.

Давайте выясним, с какими углами из исходной задачи совпадают углы $\angle BCE$ и $\angle BEC$.

Угол $\angle BCE$ образован лучами CB и CE. Так как точки C, D, E лежат на одной прямой, луч CE совпадает с лучом CD. Следовательно, $\angle BCE = \angle BCD$.

Так как ACBE — параллелограмм, его противоположные стороны AC и BE параллельны ($AC \parallel BE$). Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую CE. Углы $\angle ACE$ и $\angle BEC$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle ACE = \angle BEC$. При этом угол $\angle ACE$ — это тот же самый угол, что и $\angle ACD$. Таким образом, $\angle ACD = \angle BEC$.

Теперь мы можем подставить найденные соответствия в неравенство $\angle BCE > \angle BEC$. Заменив $\angle BCE$ на $\angle BCD$ и $\angle BEC$ на $\angle ACD$, мы получаем искомое неравенство: $\angle BCD > \angle ACD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол BCD больше угла ACD.