Номер 13.2, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипо- тенузой которого является отрезок $\text{AB}$, а вершина $\text{C}$ находит- ся в одном из узлов сетки (рис. 13.7).

Рис. 13.7

а) Чтобы построить прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, необходимо найти такую точку $C$ в узле сетки, чтобы угол $\angle ACB$ был прямым. Это означает, что катеты $AC$ и $BC$ должны быть перпендикулярны.

Введем систему координат, приняв сторону клетки сетки за единицу длины. Судя по рисунку, можно присвоить вершинам $A$ и $B$ координаты. Пусть точка $A$ имеет координаты $(1, 2)$, а точка $B$ — $(3, 0)$.

Простой геометрический способ найти точку $C$ — это построить прямоугольник, для которого $AB$ является диагональю, а стороны параллельны осям координат. Две другие вершины этого прямоугольника будут кандидатами на роль точки $C$. Координаты этих вершин: $C_1 = (x_A, y_B) = (1, 0)$ и $C_2 = (x_B, y_A) = (3, 2)$. Обе эти точки находятся в узлах сетки.

Выберем в качестве вершины $C$ точку с координатами $(1, 0)$ и построим треугольник $ABC$. Чтобы убедиться, что это прямоугольный треугольник, можно проверить перпендикулярность векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Вектор $\vec{CA}$ имеет координаты $(1-1, 2-0) = (0, 2)$.

Вектор $\vec{CB}$ имеет координаты $(3-1, 0-0) = (2, 0)$.

Скалярное произведение векторов: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, угол $\angle ACB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник с вершинами в точках $A(1, 2)$, $B(3, 0)$ и $C(1, 0)$ является искомым прямоугольным треугольником.

Ответ: Один из возможных искомых треугольников имеет третью вершину $C$ в узле сетки, который находится на 2 единицы ниже точки $A$ и на 2 единицы левее точки $B$. Если принять $A=(1,2)$ и $B=(3,0)$, то $C=(1,0)$. Другой возможный вариант — точка $C$ с координатами $(3,2)$.

б) В этом случае отрезок $AB$ расположен на горизонтальной линии сетки. Примем длину стороны клетки сетки за 1. Длина отрезка $AB$ равна 3.

Введем систему координат так, чтобы точка $A$ имела координаты $(0, 0)$, а точка $B$ — $(3, 0)$. Искомая вершина $C$ должна находиться в узле сетки, то есть иметь целочисленные координаты $(x, y)$.

По условию, $AB$ является гипотенузой, следовательно, угол $\angle ACB$ должен быть прямым ($90^\circ$). Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, для такого треугольника должно выполняться равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Выразим квадраты длин сторон через координаты вершин:

$AB^2 = (3-0)^2 + (0-0)^2 = 3^2 = 9$.

$AC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$.

$BC^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = (x-3)^2 + y^2$.

Подставим эти выражения в уравнение теоремы Пифагора:

$(x^2 + y^2) + ((x-3)^2 + y^2) = 9$

$x^2 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 = 9$

$2x^2 - 6x + 2y^2 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 - 3x + y^2 = 0$

Мы получили уравнение, связывающее координаты точки $C(x, y)$. Нам нужно найти его целочисленные решения. Выразим $y^2$:

$y^2 = 3x - x^2 = x(3-x)$

Поскольку $y^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться неравенство $x(3-x) \ge 0$. Это верно для $x$ в диапазоне $0 \le x \le 3$. Так как $x$ должен быть целым, возможные значения для $x$: 0, 1, 2, 3.

Теперь проверим, будет ли $y$ целым для этих значений $x$. При $x=0$ имеем $y^2 = 0(3-0) = 0$, откуда $y=0$. Это точка $(0,0)$, которая совпадает с $A$. При $x=3$ имеем $y^2 = 3(3-3)=0$, откуда $y=0$. Это точка $(3,0)$, которая совпадает с $B$. При $x=1$ получаем $y^2 = 1(3-1) = 2$. При $x=2$ получаем $y^2 = 2(3-2) = 2$. В обоих случаях $y=\pm\sqrt{2}$, что не является целым числом.

Следовательно, не существует узла сетки $C$, отличного от $A$ и $B$, который бы удовлетворял условию задачи.

Ответ: Изобразить такой треугольник невозможно, так как на сетке не существует узла $C$, для которого $\triangle ABC$ был бы прямоугольным с гипотенузой $AB$, показанной на рисунке б).